Страница 60 номер 3.1.52, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Между пунктами \(A\) и \(B\) на реке по расписанию ходит катер, затрачивая на путь из пункта \(A\) в \(B\) 75 % времени, необходимого ему на путь из пункта \(B\) в \(A\). Как-то раз в пути сломался мотор. Его чинили 24 мин, а течение сносило катер. С каким опозданием катер прибыл в пункт назначения?
Дано:
время пути катера из \(A\) в \(B\) составляет 75 % времени пути из \(B\) в \(A\)
мотор чинили 24 мин, и всё это время катер сносило течением
Найти: опоздание катера.
Решение:
Расстояние в обе стороны одно и то же, а на путь из \(A\) в \(B\) катер тратит меньше времени, значит, из \(A\) в \(B\) он идёт по течению, а из \(B\) в \(A\) — против течения.
Пусть \(u\) км/ч — скорость течения, \(v\) км/ч — собственная скорость катера, \(s\) км — расстояние между пунктами. По течению катер идёт со скоростью \(v + u\) км/ч и тратит \(\frac{s}{v+u}\) ч, против течения — со скоростью \(v - u\) км/ч и тратит \(\frac{s}{v-u}\) ч, причём первое время составляет \(0{,}75\) второго: \[\frac{s}{v+u} = 0{,}75 \cdot \frac{s}{v-u}.\]
Разделим обе части на \(s\) — расстояние между пунктами отлично от нуля: \[\frac{1}{v+u} = \frac{0{,}75}{v-u},\] \[v - u = 0{,}75(v+u),\] \[v - u = 0{,}75v + 0{,}75u,\] \[0{,}25v = 1{,}75u,\] \[v = 7u.\]
По течению катер идёт со скоростью \(v + u = 8u\) км/ч, против течения — со скоростью \(v - u = 6u\) км/ч.
Ремонт длился 24 мин, то есть \(0{,}4\) ч. Пункт, из которого вышел катер, не задан, поэтому рассмотрим оба случая.
Катер шёл из \(A\) в \(B\), то есть по течению. За \(0{,}4\) ч он должен был пройти \(8u \cdot 0{,}4 = 3{,}2u\) (км), а течение снесло его вперёд лишь на \(u \cdot 0{,}4 = 0{,}4u\) (км), поэтому он отстал от расписания на \(3{,}2u - 0{,}4u = 2{,}8u\) (км) и потратил на них лишних \(\frac{2{,}8u}{8u} = 0{,}35\) (ч), то есть \(0{,}35 \cdot 60 = 21\) (мин).
Катер шёл из \(B\) в \(A\), то есть против течения. За \(0{,}4\) ч он должен был пройти вперёд \(6u \cdot 0{,}4 = 2{,}4u\) (км), а течение снесло его назад на \(0{,}4u\) км, поэтому он отстал от расписания на \(2{,}4u + 0{,}4u = 2{,}8u\) (км) и потратил на них лишних \(\frac{2{,}8u}{6u} = \frac{7}{15}\) (ч), то есть \(\frac{7}{15} \cdot 60 = 28\) (мин).
Ответ: 21 мин, если катер шёл из \(A\) в \(B\); 28 мин, если катер шёл из \(B\) в \(A\).
Между пунктами \(A\) и \(B\) на реке по расписанию ходит катер, затрачивая на путь из пункта \(A\) в \(B\) 75 % времени, необходимого ему на путь из пункта \(B\) в \(A\). Как-то раз в пути сломался мотор. Его чинили 24 мин, а течение сносило катер. С каким опозданием катер прибыл в пункт назначения?
Дано:
время пути катера из \(A\) в \(B\) составляет 75 % времени пути из \(B\) в \(A\)
мотор чинили 24 мин, и всё это время катер сносило течением
Найти: опоздание катера.
Решение:
Расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) в обе стороны одно и то же, а времени на путь из \(A\) в \(B\) катер тратит меньше. Значит, из \(A\) в \(B\) он идёт быстрее, то есть по течению, а из \(B\) в \(A\) — против течения.
Пусть \(u\) км/ч — скорость течения, \(v\) км/ч — собственная скорость катера, \(s\) км — расстояние между пунктами. По течению катер идёт со скоростью \(v + u\) км/ч и тратит на путь \(\frac{s}{v+u}\) ч, против течения идёт со скоростью \(v - u\) км/ч и тратит \(\frac{s}{v-u}\) ч. По условию первое время составляет 75 % второго, то есть \(0{,}75\) второго: \[\frac{s}{v+u} = 0{,}75 \cdot \frac{s}{v-u}.\]
Разделим обе части уравнения на \(s\) — расстояние между пунктами отлично от нуля: \[\frac{1}{v+u} = \frac{0{,}75}{v-u}.\]
По основному свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: \[v - u = 0{,}75(v+u),\] \[v - u = 0{,}75v + 0{,}75u,\] \[0{,}25v = 1{,}75u,\] \[v = 7u.\]
Значит, по течению катер идёт со скоростью \(v + u = 8u\) км/ч, а против течения — со скоростью \(v - u = 6u\) км/ч.
Ремонт длился 24 мин, то есть \(0{,}4\) ч. По условию неизвестно, из какого пункта катер вышел, поэтому рассмотрим оба случая.
Катер шёл из \(A\) в \(B\), то есть по течению. За \(0{,}4\) ч он должен был пройти \(8u \cdot 0{,}4 = 3{,}2u\) (км), а течение снесло его вперёд лишь на \(u \cdot 0{,}4 = 0{,}4u\) (км). Катер отстал от расписания на \(3{,}2u - 0{,}4u = 2{,}8u\) (км). Дальше он шёл по течению со скоростью \(8u\) км/ч, поэтому на эти километры он потратил лишних \(\frac{2{,}8u}{8u} = 0{,}35\) (ч), то есть \(0{,}35 \cdot 60 = 21\) (мин).
Катер шёл из \(B\) в \(A\), то есть против течения. За \(0{,}4\) ч он должен был пройти вперёд \(6u \cdot 0{,}4 = 2{,}4u\) (км), а течение снесло его назад на \(0{,}4u\) км. Катер отстал от расписания на \(2{,}4u + 0{,}4u = 2{,}8u\) (км). Дальше он шёл против течения со скоростью \(6u\) км/ч, поэтому на эти километры он потратил лишних \(\frac{2{,}8u}{6u} = \frac{7}{15}\) (ч), то есть \(\frac{7}{15} \cdot 60 = 28\) (мин).
Ответ: 21 мин, если катер шёл из \(A\) в \(B\); 28 мин, если катер шёл из \(B\) в \(A\).
