Страница 60 номер 3.1.50, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить относительно \(x\) уравнение: 1) \((n-5)x=m\); 2) \((a+1)x=3b-2\); 3) \(mx-m^2=nx-n^2\); 4) \(bx-2bc=cx-b^2-c^2\).
1) \((n-5)x = m\). Коэффициент при \(x\) равен \(n - 5\).
При \(n \ne 5\) уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{m}{n-5}\).
При \(n = 5\) оно принимает вид \(0x = m\): при \(m \ne 0\) корней нет, а при \(m = 0\) корнем является любое число.
2) \((a+1)x = 3b - 2\).
При \(a \ne -1\) уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{3b-2}{a+1}\).
При \(a = -1\) оно принимает вид \(0x = 3b - 2\), а правая часть равна нулю при \(b = \frac{2}{3}\): при \(a = -1\) и \(b \ne \frac{2}{3}\) корней нет, при \(a = -1\) и \(b = \frac{2}{3}\) корнем является любое число.
3) \(mx - m^2 = nx - n^2\). \[mx - nx = m^2 - n^2,\] \[(m-n)x = (m-n)(m+n).\]
При \(m \ne n\) уравнение имеет единственный корень \[x = \frac{(m-n)(m+n)}{m-n} = m + n.\]
При \(m = n\) оно принимает вид \(0x = 0\), и его корнем является любое число.
4) \(bx - 2bc = cx - b^2 - c^2\). \[bx - cx = 2bc - b^2 - c^2,\] \[(b-c)x = -(b^2 - 2bc + c^2),\] \[(b-c)x = -(b-c)^2.\]
При \(b \ne c\) уравнение имеет единственный корень \[x = \frac{-(b-c)^2}{b-c} = -(b-c) = c - b.\]
При \(b = c\) оно принимает вид \(0x = 0\), и его корнем является любое число.
Ответ: 1) если \(n \ne 5\), то \(x = \frac{m}{n-5}\), если \(n = 5\) и \(m \ne 0\), то корней нет, если \(n = 5\) и \(m = 0\), то \(x\) — любое число; 2) если \(a \ne -1\), то \(x = \frac{3b-2}{a+1}\), если \(a = -1\) и \(b \ne \frac{2}{3}\), то корней нет, если \(a = -1\) и \(b = \frac{2}{3}\), то \(x\) — любое число; 3) если \(m \ne n\), то \(x = m + n\), если \(m = n\), то \(x\) — любое число; 4) если \(b \ne c\), то \(x = c - b\), если \(b = c\), то \(x\) — любое число.
Решить относительно \(x\) уравнение: 1) \((n-5)x=m\); 2) \((a+1)x=3b-2\); 3) \(mx-m^2=nx-n^2\); 4) \(bx-2bc=cx-b^2-c^2\).
1) \((n-5)x = m\).
Коэффициент при \(x\) равен \(n - 5\).
Если \(n - 5 \ne 0\), то есть \(n \ne 5\), то уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{m}{n-5}\).
Если \(n = 5\), то уравнение принимает вид \(0x = m\). При \(m \ne 0\) оно корней не имеет, а при \(m = 0\) его корнем является любое число.
2) \((a+1)x = 3b - 2\).
Если \(a + 1 \ne 0\), то есть \(a \ne -1\), то уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{3b-2}{a+1}\).
Если \(a = -1\), то уравнение принимает вид \(0x = 3b - 2\). Правая часть равна нулю при \(3b - 2 = 0\), то есть при \(b = \frac{2}{3}\). Значит, при \(a = -1\) и \(b \ne \frac{2}{3}\) корней нет, а при \(a = -1\) и \(b = \frac{2}{3}\) корнем является любое число.
3) \(mx - m^2 = nx - n^2\).
Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а остальные — в правую и разложим разность квадратов на множители: \[mx - nx = m^2 - n^2,\] \[(m-n)x = (m-n)(m+n).\]
Если \(m - n \ne 0\), то есть \(m \ne n\), то уравнение имеет единственный корень \[x = \frac{(m-n)(m+n)}{m-n} = m + n.\]
Если \(m = n\), то уравнение принимает вид \(0x = 0\), и его корнем является любое число.
4) \(bx - 2bc = cx - b^2 - c^2\).
\[bx - cx = 2bc - b^2 - c^2,\] \[(b-c)x = -(b^2 - 2bc + c^2),\] \[(b-c)x = -(b-c)^2.\]
Если \(b - c \ne 0\), то есть \(b \ne c\), то уравнение имеет единственный корень \[x = \frac{-(b-c)^2}{b-c} = -(b-c) = c - b.\]
Если \(b = c\), то уравнение принимает вид \(0x = 0\), и его корнем является любое число.
Ответ: 1) если \(n \ne 5\), то \(x = \frac{m}{n-5}\), если \(n = 5\) и \(m \ne 0\), то корней нет, если \(n = 5\) и \(m = 0\), то \(x\) — любое число; 2) если \(a \ne -1\), то \(x = \frac{3b-2}{a+1}\), если \(a = -1\) и \(b \ne \frac{2}{3}\), то корней нет, если \(a = -1\) и \(b = \frac{2}{3}\), то \(x\) — любое число; 3) если \(m \ne n\), то \(x = m + n\), если \(m = n\), то \(x\) — любое число; 4) если \(b \ne c\), то \(x = c - b\), если \(b = c\), то \(x\) — любое число.
