Страница 60 номер 3.1.49, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение с параметром \(a\): 1) \(ax+7=3x+a\); 2) \(4ax-11=x+a\); 3) \(a^2x+3=a+3ax\); 4) \(3x+9=a(a-x)\).
1) \(ax + 7 = 3x + a\). \[ax - 3x = a - 7,\] \[(a-3)x = a - 7.\]
При \(a \ne 3\) уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{a-7}{a-3}\); при \(a = 3\) оно принимает вид \(0x = -4\) и корней не имеет.
2) \(4ax - 11 = x + a\). \[4ax - x = a + 11,\] \[(4a-1)x = a + 11.\]
При \(a \ne 0{,}25\) уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{a+11}{4a-1}\); при \(a = 0{,}25\) оно принимает вид \(0x = 11{,}25\) и корней не имеет.
3) \(a^2x + 3 = a + 3ax\). \[a^2x - 3ax = a - 3,\] \[a(a-3)x = a - 3.\]
Коэффициент при \(x\) равен нулю при \(a = 0\) и при \(a = 3\).
При \(a \ne 0\) и \(a \ne 3\) уравнение имеет единственный корень \[x = \frac{a-3}{a(a-3)} = \frac{1}{a}.\]
При \(a = 0\) оно принимает вид \(0x = -3\) и корней не имеет; при \(a = 3\) принимает вид \(0x = 0\), и его корнем является любое число.
4) \(3x + 9 = a(a-x)\). \[3x + 9 = a^2 - ax,\] \[3x + ax = a^2 - 9,\] \[(a+3)x = (a-3)(a+3).\]
При \(a \ne -3\) уравнение имеет единственный корень \[x = \frac{(a-3)(a+3)}{a+3} = a - 3.\]
При \(a = -3\) оно принимает вид \(0x = 0\), и его корнем является любое число.
Ответ: 1) если \(a = 3\), то корней нет, если \(a \ne 3\), то \(x = \frac{a-7}{a-3}\); 2) если \(a = 0{,}25\), то корней нет, если \(a \ne 0{,}25\), то \(x = \frac{a+11}{4a-1}\); 3) если \(a = 0\), то корней нет, если \(a = 3\), то \(x\) — любое число, если \(a \ne 0\) и \(a \ne 3\), то \(x = \frac{1}{a}\); 4) если \(a = -3\), то \(x\) — любое число, если \(a \ne -3\), то \(x = a - 3\).
Решить уравнение с параметром \(a\): 1) \(ax+7=3x+a\); 2) \(4ax-11=x+a\); 3) \(a^2x+3=a+3ax\); 4) \(3x+9=a(a-x)\).
1) \(ax + 7 = 3x + a\).
Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а остальные — в правую и вынесем \(x\) за скобки: \[ax - 3x = a - 7,\] \[(a-3)x = a - 7.\]
Если \(a - 3 \ne 0\), то есть \(a \ne 3\), то уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{a-7}{a-3}\).
Если \(a = 3\), то уравнение принимает вид \(0x = -4\) и корней не имеет.
2) \(4ax - 11 = x + a\).
\[4ax - x = a + 11,\] \[(4a-1)x = a + 11.\]
Если \(4a - 1 \ne 0\), то есть \(a \ne 0{,}25\), то уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{a+11}{4a-1}\).
Если \(a = 0{,}25\), то уравнение принимает вид \(0x = 11{,}25\) и корней не имеет.
3) \(a^2x + 3 = a + 3ax\).
\[a^2x - 3ax = a - 3,\] \[a(a-3)x = a - 3.\]
Коэффициент при \(x\) равен нулю при \(a = 0\) и при \(a = 3\).
Если \(a \ne 0\) и \(a \ne 3\), то уравнение имеет единственный корень \[x = \frac{a-3}{a(a-3)} = \frac{1}{a}.\]
Если \(a = 0\), то уравнение принимает вид \(0x = -3\) и корней не имеет.
Если \(a = 3\), то уравнение принимает вид \(0x = 0\), и его корнем является любое число.
4) \(3x + 9 = a(a-x)\).
\[3x + 9 = a^2 - ax,\] \[3x + ax = a^2 - 9,\] \[(a+3)x = (a-3)(a+3).\]
Если \(a + 3 \ne 0\), то есть \(a \ne -3\), то уравнение имеет единственный корень \[x = \frac{(a-3)(a+3)}{a+3} = a - 3.\]
Если \(a = -3\), то уравнение принимает вид \(0x = 0\), и его корнем является любое число.
Ответ: 1) если \(a = 3\), то корней нет, если \(a \ne 3\), то \(x = \frac{a-7}{a-3}\); 2) если \(a = 0{,}25\), то корней нет, если \(a \ne 0{,}25\), то \(x = \frac{a+11}{4a-1}\); 3) если \(a = 0\), то корней нет, если \(a = 3\), то \(x\) — любое число, если \(a \ne 0\) и \(a \ne 3\), то \(x = \frac{1}{a}\); 4) если \(a = -3\), то \(x\) — любое число, если \(a \ne -3\), то \(x = a - 3\).
