Страница 60 номер 3.1.48, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Каждое уравнение приведём к виду \(ax = b\). Такое уравнение имеет единственный корень при \(a \ne 0\), не имеет корней при \(a = 0\) и \(b \ne 0\), а при \(a = 0\) и \(b = 0\) его корнем является любое число.

1) \(bx + x = 2(x+1)\).

Раскроем скобки и перенесём слагаемые с переменной в левую часть: \[bx + x = 2x + 2,\] \[bx + x - 2x = 2,\] \[(b-1)x = 2.\]

Правая часть равна 2 и в нуль не обращается, поэтому корнем не может быть любое число ни при каких \(b\). При \(b - 1 \ne 0\), то есть при \(b \ne 1\), уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{2}{b-1}\). При \(b = 1\) уравнение принимает вид \(0x = 2\) и корней не имеет.

2) \(x(4-b) - 3x = 7 + x\).

\[4x - bx - 3x = 7 + x,\] \[4x - bx - 3x - x = 7,\] \[-bx = 7.\]

Правая часть равна 7 и в нуль не обращается, поэтому корнем не может быть любое число ни при каких \(b\). При \(b \ne 0\) уравнение имеет единственный корень \(x = -\frac{7}{b}\). При \(b = 0\) уравнение принимает вид \(0x = 7\) и корней не имеет.

3) \(b(1+x) + 3 = 3x + bx\).

\[b + bx + 3 = 3x + bx,\] \[bx - bx - 3x = -b - 3,\] \[-3x = -b - 3,\] \[3x = b + 3.\]

Слагаемые \(bx\) в обеих частях одинаковы и взаимно уничтожаются, поэтому коэффициент при \(x\) равен 3 и от параметра не зависит. При любом \(b\) уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{b+3}{3}\), а значений \(b\), при которых корней нет или корнем является любое число, не существует.

4) \(9 + 2(x + 5b) = 10b + 9\).

\[9 + 2x + 10b = 10b + 9,\] \[2x = 10b + 9 - 10b - 9,\] \[2x = 0.\]

Слагаемые \(10b\) и 9 в обеих частях одинаковы и взаимно уничтожаются, поэтому коэффициент при \(x\) равен 2 и от параметра не зависит. При любом \(b\) уравнение имеет единственный корень \(x = 0\), а значений \(b\), при которых корней нет или корнем является любое число, не существует.

Ответ: 1) единственный корень при \(b \ne 1\), корней нет при \(b = 1\), значений \(b\), при которых корнем является любое число, не существует; 2) единственный корень при \(b \ne 0\), корней нет при \(b = 0\), значений \(b\), при которых корнем является любое число, не существует; 3) единственный корень при любом \(b\), значений \(b\), при которых корней нет или корнем является любое число, не существует; 4) единственный корень при любом \(b\), значений \(b\), при которых корней нет или корнем является любое число, не существует.