Страница 60 номер 3.1.47, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
При каких значениях \(k\) любое число является корнем уравнения: 1) \(0\cdot x=k^2\); 2) \(kx=0\); 3) \(kx=k^2\); 4) \((k^2+3)x=0\); 5) \(kx=k^2+5\); 6) \((k^2+1)x=k^2+1\)?
1) \(0x = k^2\). Коэффициент при \(x\) равен нулю при любом \(k\), поэтому нужно, чтобы и правая часть была равна нулю: \[k^2 = 0,\] \[k = 0.\]
При \(k = 0\) уравнение принимает вид \(0x = 0\), и его корнем является любое число.
2) \(kx = 0\). Правая часть равна нулю при любом \(k\), поэтому нужно, чтобы коэффициент при \(x\) был равен нулю, то есть \(k = 0\); при \(k \ne 0\) уравнение имеет единственный корень \(x = 0\). Любое число является корнем при \(k = 0\).
3) \(kx = k^2\). Равенства \(k = 0\) и \(k^2 = 0\) выполняются одновременно только при \(k = 0\): уравнение принимает вид \(0x = 0\), и его корнем является любое число.
4) \((k^2+3)x = 0\). Коэффициент \(k^2 + 3\) не меньше 3 и ни при каком \(k\) в нуль не обращается, поэтому уравнение при любом \(k\) имеет единственный корень \(x = 0\), и любое число его корнем не является ни при каких \(k\).
5) \(kx = k^2 + 5\). Коэффициент при \(x\) равен нулю только при \(k = 0\), но тогда правая часть равна \(0 + 5 = 5\) и уравнение \(0x = 5\) корней не имеет. Любое число не является корнем ни при каких \(k\).
6) \((k^2+1)x = k^2+1\). Коэффициент \(k^2 + 1\) не меньше 1 и ни при каком \(k\) в нуль не обращается; разделив на него обе части, получаем \(x = 1\) — единственный корень при любом \(k\). Любое число не является корнем ни при каких \(k\).
Ответ: 1) при \(k = 0\); 2) при \(k = 0\); 3) при \(k = 0\); 4) ни при каких \(k\); 5) ни при каких \(k\); 6) ни при каких \(k\).
При каких значениях \(k\) любое число является корнем уравнения: 1) \(0\cdot x=k^2\); 2) \(kx=0\); 3) \(kx=k^2\); 4) \((k^2+3)x=0\); 5) \(kx=k^2+5\); 6) \((k^2+1)x=k^2+1\)?
Корнем уравнения вида \(ax = b\) является любое число тогда и только тогда, когда и коэффициент при переменной, и правая часть равны нулю: равенство \(0x = 0\) верно при любом \(x\).
1) \(0x = k^2\).
Коэффициент при \(x\) равен нулю при любом \(k\), поэтому остаётся потребовать, чтобы правая часть тоже была равна нулю: \[k^2 = 0,\] \[k = 0.\]
При \(k = 0\) уравнение принимает вид \(0x = 0\), и его корнем является любое число.
2) \(kx = 0\).
Правая часть равна нулю при любом \(k\), поэтому остаётся потребовать, чтобы коэффициент при \(x\) был равен нулю, то есть \(k = 0\). При \(k = 0\) уравнение принимает вид \(0x = 0\), при \(k \ne 0\) оно имеет единственный корень \(x = 0\). Любое число является корнем при \(k = 0\).
3) \(kx = k^2\).
Нужно, чтобы одновременно выполнялись равенства \(k = 0\) и \(k^2 = 0\); оба верны только при \(k = 0\). При \(k = 0\) уравнение принимает вид \(0x = 0\), и его корнем является любое число.
4) \((k^2+3)x = 0\).
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому \(k^2 + 3\) не меньше 3 и ни при каком \(k\) в нуль не обращается. Уравнение при любом \(k\) имеет единственный корень \(x = 0\), поэтому любое число его корнем не является ни при каких \(k\).
5) \(kx = k^2 + 5\).
Коэффициент при \(x\) равен нулю только при \(k = 0\), но тогда правая часть равна \(0 + 5 = 5\), и уравнение \(0x = 5\) корней не имеет. Значит, любое число не является корнем ни при каких \(k\).
6) \((k^2+1)x = k^2+1\).
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому \(k^2 + 1\) не меньше 1 и ни при каком \(k\) в нуль не обращается. Разделив обе части уравнения на \(k^2+1\), получаем \(x = 1\): при любом \(k\) уравнение имеет единственный корень. Значит, любое число не является корнем ни при каких \(k\).
Ответ: 1) при \(k = 0\); 2) при \(k = 0\); 3) при \(k = 0\); 4) ни при каких \(k\); 5) ни при каких \(k\); 6) ни при каких \(k\).
