Страница 60 номер 3.1.45, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Установить, при каких значениях параметра \(a\) уравнение имеет единственный корень: 1) \(28x=a\); 2) \((a^2+1)x=a\); 3) \(ax=0\); 4) \((2a^2+5)x=0\); 5) \(0\cdot x=2-a\); 6) \(0\cdot x=-a^2\).
1) \(28x = a\). Коэффициент при \(x\) равен 28 и от параметра не зависит, поэтому при любом \(a\) уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{a}{28}\).
2) \((a^2+1)x = a\). Коэффициент \(a^2 + 1\) не меньше 1 и ни при каком \(a\) в нуль не обращается, поэтому при любом \(a\) уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{a}{a^2+1}\).
3) \(ax = 0\). При \(a \ne 0\) уравнение имеет единственный корень \(x = 0\); при \(a = 0\) оно принимает вид \(0x = 0\), и его корнем является любое число. Единственный корень уравнение имеет при \(a \ne 0\).
4) \((2a^2+5)x = 0\). Коэффициент \(2a^2 + 5\) не меньше 5 и ни при каком \(a\) в нуль не обращается, поэтому при любом \(a\) уравнение имеет единственный корень \(x = 0\).
5) \(0x = 2 - a\). Коэффициент при \(x\) равен нулю при любом \(a\): при \(a = 2\) уравнение принимает вид \(0x = 0\) и его корнем является любое число, а при \(a \ne 2\) правая часть отлична от нуля и корней нет. Единственного корня нет ни при каких \(a\).
6) \(0x = -a^2\). Коэффициент при \(x\) равен нулю при любом \(a\): при \(a = 0\) уравнение принимает вид \(0x = 0\) и его корнем является любое число, а при \(a \ne 0\) правая часть отлична от нуля и корней нет. Единственного корня нет ни при каких \(a\).
Ответ: 1) при любом \(a\); 2) при любом \(a\); 3) при \(a \ne 0\); 4) при любом \(a\); 5) ни при каких \(a\); 6) ни при каких \(a\).
Установить, при каких значениях параметра \(a\) уравнение имеет единственный корень: 1) \(28x=a\); 2) \((a^2+1)x=a\); 3) \(ax=0\); 4) \((2a^2+5)x=0\); 5) \(0\cdot x=2-a\); 6) \(0\cdot x=-a^2\).
Уравнение вида \(ax = b\) имеет единственный корень тогда и только тогда, когда коэффициент при переменной отличен от нуля: тогда этот корень равен \(\frac{b}{a}\). Если же \(a = 0\), то уравнение либо не имеет корней (при \(b \ne 0\)), либо имеет корнем любое число (при \(b = 0\)), и единственного корня у него нет.
1) \(28x = a\).
Коэффициент при \(x\) равен 28 и от параметра не зависит, поэтому он отличен от нуля при любом значении \(a\). Уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{a}{28}\) при любом \(a\).
2) \((a^2+1)x = a\).
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому \(a^2 + 1\) не меньше 1 и ни при каком \(a\) в нуль не обращается. Уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{a}{a^2+1}\) при любом \(a\).
3) \(ax = 0\).
Коэффициент при \(x\) равен \(a\). При \(a \ne 0\) уравнение имеет единственный корень \(x = 0\). При \(a = 0\) уравнение принимает вид \(0x = 0\), и его корнем является любое число, то есть единственного корня нет. Единственный корень уравнение имеет при \(a \ne 0\).
4) \((2a^2+5)x = 0\).
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому \(2a^2\) неотрицательно, \(2a^2 + 5\) не меньше 5 и ни при каком \(a\) в нуль не обращается. Уравнение имеет единственный корень \(x = 0\) при любом \(a\).
5) \(0x = 2 - a\).
Коэффициент при \(x\) равен нулю при любом \(a\), поэтому единственного корня у уравнения быть не может: при \(a = 2\) оно принимает вид \(0x = 0\) и его корнем является любое число, а при \(a \ne 2\) правая часть отлична от нуля и уравнение корней не имеет. Единственного корня нет ни при каких \(a\).
6) \(0x = -a^2\).
Коэффициент при \(x\) равен нулю при любом \(a\). Правая часть \(-a^2\) обращается в нуль только при \(a = 0\): тогда уравнение принимает вид \(0x = 0\) и его корнем является любое число. При \(a \ne 0\) правая часть отлична от нуля и уравнение корней не имеет. Единственного корня нет ни при каких \(a\).
Ответ: 1) при любом \(a\); 2) при любом \(a\); 3) при \(a \ne 0\); 4) при любом \(a\); 5) ни при каких \(a\); 6) ни при каких \(a\).
