Страница 48 номер 2.4.8, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Извлечь корень: 1) \(\sqrt{a^2}\); 2) \(\sqrt{x^4}\); 3) \(\sqrt{(-a)^4}\); 4) \(\sqrt{(-a)^2}\); 5) \(\sqrt{(a + 2)^2}\); 6) \(\sqrt{(2 - a)^2}\); 7) \(\sqrt{a^6}\); 8) \(\sqrt{a^8}\).
1) \(\sqrt{a^2} = \left|a\right|\) — знак \(a\) не задан, модуль остаётся;
2) \(\sqrt{x^4} = \sqrt{\left(x^2\right)^2} = \left|x^2\right| = x^2\), так как \(x^2 \geqslant 0\);
3) \((-a)^4 = a^4\), поэтому \(\sqrt{(-a)^4} = \sqrt{\left(a^2\right)^2} = \left|a^2\right| = a^2\), так как \(a^2 \geqslant 0\);
4) \(\sqrt{(-a)^2} = \left|-a\right| = \left|a\right|\) — у противоположных чисел модули равны, знак \(a\) не задан;
5) \(\sqrt{(a + 2)^2} = \left|a + 2\right|\) — знак суммы не задан;
6) \(\sqrt{(2 - a)^2} = \left|2 - a\right|\) — знак разности не задан;
7) \(\sqrt{a^6} = \sqrt{\left(a^3\right)^2} = \left|a^3\right|\) — знак \(a^3\) совпадает со знаком \(a\) и не задан;
8) \(\sqrt{a^8} = \sqrt{\left(a^4\right)^2} = \left|a^4\right| = a^4\), так как \(a^4 \geqslant 0\).
Ответ: 1) \(\left|a\right|\); 2) \(x^2\); 3) \(a^2\); 4) \(\left|a\right|\); 5) \(\left|a + 2\right|\); 6) \(\left|2 - a\right|\); 7) \(\left|a^3\right|\); 8) \(a^4\).
Извлечь корень: 1) \(\sqrt{a^2}\); 2) \(\sqrt{x^4}\); 3) \(\sqrt{(-a)^4}\); 4) \(\sqrt{(-a)^2}\); 5) \(\sqrt{(a + 2)^2}\); 6) \(\sqrt{(2 - a)^2}\); 7) \(\sqrt{a^6}\); 8) \(\sqrt{a^8}\).
Чтобы извлечь корень из степени с чётным показателем, подкоренное выражение представляют в виде квадрата и пользуются тождеством \(\sqrt{t^2} = \left|t\right|\), верным при любом \(t\). Модуль снимают только тогда, когда знак выражения под ним известен.
1) \(\sqrt{a^2} = \left|a\right|\) — знак \(a\) не задан, поэтому модуль остаётся;
2) \(\sqrt{x^4} = \sqrt{\left(x^2\right)^2} = \left|x^2\right| = x^2\), так как \(x^2 \geqslant 0\) при любом \(x\);
3) \((-a)^4 = a^4\), поэтому \(\sqrt{(-a)^4} = \sqrt{\left(a^2\right)^2} = \left|a^2\right| = a^2\), так как \(a^2 \geqslant 0\) при любом \(a\);
4) \(\sqrt{(-a)^2} = \left|-a\right| = \left|a\right|\) — противоположные числа имеют равные модули, а знак \(a\) не задан;
5) \(\sqrt{(a + 2)^2} = \left|a + 2\right|\) — знак суммы \(a + 2\) не задан;
6) \(\sqrt{(2 - a)^2} = \left|2 - a\right|\) — знак разности \(2 - a\) не задан;
7) \(\sqrt{a^6} = \sqrt{\left(a^3\right)^2} = \left|a^3\right|\) — знак \(a^3\) совпадает со знаком \(a\) и не задан;
8) \(\sqrt{a^8} = \sqrt{\left(a^4\right)^2} = \left|a^4\right| = a^4\), так как \(a^4 \geqslant 0\) при любом \(a\).
Ответ: 1) \(\left|a\right|\); 2) \(x^2\); 3) \(a^2\); 4) \(\left|a\right|\); 5) \(\left|a + 2\right|\); 6) \(\left|2 - a\right|\); 7) \(\left|a^3\right|\); 8) \(a^4\).
