Страница 48 номер 2.4.7, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Упростить выражение: 1) \(\sqrt{a^2}\), если \(a \ge 0\); 2) \(\sqrt{b^2}\), если \(b < 0\); 3) \(\sqrt{81x^2}\), если \(x < 0\); 4) \(\sqrt{0{,}25y^2}\), если \(y \ge 0\); 5) \(\sqrt{\frac{1}{9}a^6}\), если \(a > 0\); 6) \(\sqrt{\frac{25}{49}b^{10}}\), если \(b \le 0\); 7) \(\sqrt{1600x^4}\); 8) \(\sqrt{1\,210\,000y^8}\).
1) \(\sqrt{a^2} = |a| = a\), так как \(a \geqslant 0\);
2) \(\sqrt{b^2} = |b| = -b\), так как \(b < 0\);
3) \(\sqrt{81x^2} = \sqrt{(9x)^2} = |9x| = -9x\), так как \(9x < 0\) при \(x < 0\);
4) \(\sqrt{0{,}25y^2} = \sqrt{(0{,}5y)^2} = |0{,}5y| = 0{,}5y\), так как \(0{,}5y \geqslant 0\) при \(y \geqslant 0\);
5) \(\sqrt{\frac{1}{9}a^6} = \sqrt{\left(\frac{1}{3}a^3\right)^2} = \left|\frac{1}{3}a^3\right| = \frac{1}{3}a^3\), так как \(\frac{1}{3}a^3 > 0\) при \(a > 0\);
6) \(\sqrt{\frac{25}{49}b^{10}} = \sqrt{\left(\frac{5}{7}b^5\right)^2} = \left|\frac{5}{7}b^5\right| = -\frac{5}{7}b^5\), так как \(\frac{5}{7}b^5 \leqslant 0\) при \(b \leqslant 0\);
7) \(\sqrt{1600x^4} = \sqrt{\left(40x^2\right)^2} = \left|40x^2\right| = 40x^2\), так как \(40x^2 \geqslant 0\) при любом \(x\);
8) \(\sqrt{1\,210\,000y^8} = \sqrt{\left(1100y^4\right)^2} = \left|1100y^4\right| = 1100y^4\), так как \(1100y^4 \geqslant 0\) при любом \(y\).
Ответ: 1) \(a\); 2) \(-b\); 3) \(-9x\); 4) \(0{,}5y\); 5) \(\frac{1}{3}a^3\); 6) \(-\frac{5}{7}b^5\); 7) \(40x^2\); 8) \(1100y^4\).
Упростить выражение: 1) \(\sqrt{a^2}\), если \(a \ge 0\); 2) \(\sqrt{b^2}\), если \(b < 0\); 3) \(\sqrt{81x^2}\), если \(x < 0\); 4) \(\sqrt{0{,}25y^2}\), если \(y \ge 0\); 5) \(\sqrt{\frac{1}{9}a^6}\), если \(a > 0\); 6) \(\sqrt{\frac{25}{49}b^{10}}\), если \(b \le 0\); 7) \(\sqrt{1600x^4}\); 8) \(\sqrt{1\,210\,000y^8}\).
При любом значении переменной верно тождество \(\sqrt{c^2} = |c|\), поэтому подкоренное выражение сначала представляется квадратом, а затем модуль раскрывается по знаку того выражения, которое возведено в квадрат.
1) \(\sqrt{a^2} = |a|\); по условию \(a \geqslant 0\), поэтому \(|a| = a\);
2) \(\sqrt{b^2} = |b|\); по условию \(b < 0\), поэтому \(|b| = -b\);
3) \(\sqrt{81x^2} = \sqrt{(9x)^2} = |9x|\); по условию \(x < 0\), тогда \(9x < 0\) и \(|9x| = -9x\);
4) \(\sqrt{0{,}25y^2} = \sqrt{(0{,}5y)^2} = |0{,}5y|\); по условию \(y \geqslant 0\), тогда \(0{,}5y \geqslant 0\) и \(|0{,}5y| = 0{,}5y\);
5) \(\sqrt{\frac{1}{9}a^6} = \sqrt{\left(\frac{1}{3}a^3\right)^2} = \left|\frac{1}{3}a^3\right|\); по условию \(a > 0\), тогда \(\frac{1}{3}a^3 > 0\) и \(\left|\frac{1}{3}a^3\right| = \frac{1}{3}a^3\);
6) \(\sqrt{\frac{25}{49}b^{10}} = \sqrt{\left(\frac{5}{7}b^5\right)^2} = \left|\frac{5}{7}b^5\right|\); по условию \(b \leqslant 0\), тогда \(\frac{5}{7}b^5 \leqslant 0\) и \(\left|\frac{5}{7}b^5\right| = -\frac{5}{7}b^5\);
7) \(\sqrt{1600x^4} = \sqrt{\left(40x^2\right)^2} = \left|40x^2\right|\); при любом \(x\) верно \(40x^2 \geqslant 0\), поэтому \(\left|40x^2\right| = 40x^2\);
8) \(\sqrt{1\,210\,000y^8} = \sqrt{\left(1100y^4\right)^2} = \left|1100y^4\right|\); при любом \(y\) верно \(1100y^4 \geqslant 0\), поэтому \(\left|1100y^4\right| = 1100y^4\).
Ответ: 1) \(a\); 2) \(-b\); 3) \(-9x\); 4) \(0{,}5y\); 5) \(\frac{1}{3}a^3\); 6) \(-\frac{5}{7}b^5\); 7) \(40x^2\); 8) \(1100y^4\).
