Страница 48 номер 2.4.5, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Установить, при каких значениях \(x\) имеет смысл выражение: 1) \(\sqrt{2x}\); 2) \(\sqrt{x^2}\); 3) \(\sqrt{-x}\); 4) \(\sqrt{x^4}\); 5) \(\sqrt{x^3}\); 6) \(\sqrt{-x^2}\); 7) \(\frac{1}{\sqrt{x}}\); 8) \(\frac{1}{\sqrt{x^2}}\); 9) \(\sqrt[3]{x}\); 10) \(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\).
1) \(\sqrt{2x}\) имеет смысл при \(2x \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 0\);
2) \(x^2 \geqslant 0\) при любом \(x\), поэтому \(\sqrt{x^2}\) имеет смысл при любом \(x\);
3) \(\sqrt{-x}\) имеет смысл при \(-x \geqslant 0\), то есть при \(x \leqslant 0\);
4) \(x^4 = \left(x^2\right)^2 \geqslant 0\), поэтому \(\sqrt{x^4}\) имеет смысл при любом \(x\);
5) куб отрицательного числа отрицателен, поэтому \(x^3 \geqslant 0\) лишь при \(x \geqslant 0\);
6) при \(x \ne 0\) верно \(-x^2 < 0\), поэтому \(-x^2 \geqslant 0\) только при \(x = 0\);
7) \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\) и \(x \ne 0\), то есть при \(x > 0\);
8) \(\sqrt{x^2} = |x|\) имеет смысл при любом \(x\), а \(|x| \ne 0\) при \(x \ne 0\), поэтому \(\frac{1}{\sqrt{x^2}}\) — при \(x \ne 0\);
9) \(\sqrt[3]{x}\) имеет смысл при любом \(x\);
10) \(\sqrt[3]{x} = 0\) только при \(x = 0\), поэтому \(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\) имеет смысл при \(x \ne 0\).
Ответ: 1) при \(x \geqslant 0\); 2) при любом \(x\); 3) при \(x \leqslant 0\); 4) при любом \(x\); 5) при \(x \geqslant 0\); 6) при \(x = 0\); 7) при \(x > 0\); 8) при \(x \ne 0\); 9) при любом \(x\); 10) при \(x \ne 0\).
Установить, при каких значениях \(x\) имеет смысл выражение: 1) \(\sqrt{2x}\); 2) \(\sqrt{x^2}\); 3) \(\sqrt{-x}\); 4) \(\sqrt{x^4}\); 5) \(\sqrt{x^3}\); 6) \(\sqrt{-x^2}\); 7) \(\frac{1}{\sqrt{x}}\); 8) \(\frac{1}{\sqrt{x^2}}\); 9) \(\sqrt[3]{x}\); 10) \(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\).
Выражение \(\sqrt{c}\) имеет смысл при \(c \geqslant 0\); дробь имеет смысл, когда её знаменатель отличен от нуля. Кубический корень \(\sqrt[3]{c}\) — это число, куб которого равен \(c\); такое число существует при любом \(c\).
1) \(\sqrt{2x}\) имеет смысл при \(2x \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 0\);
2) \(x^2 \geqslant 0\) при любом \(x\), поэтому \(\sqrt{x^2}\) имеет смысл при любом \(x\);
3) \(\sqrt{-x}\) имеет смысл при \(-x \geqslant 0\), то есть при \(x \leqslant 0\);
4) \(x^4 = \left(x^2\right)^2 \geqslant 0\) при любом \(x\), поэтому \(\sqrt{x^4}\) имеет смысл при любом \(x\);
5) \(\sqrt{x^3}\) имеет смысл при \(x^3 \geqslant 0\); куб отрицательного числа отрицателен, поэтому \(x^3 \geqslant 0\) лишь при \(x \geqslant 0\);
6) \(\sqrt{-x^2}\) имеет смысл при \(-x^2 \geqslant 0\); при \(x \ne 0\) верно \(x^2 > 0\) и \(-x^2 < 0\), поэтому остаётся единственное значение \(x = 0\);
7) \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) имеет смысл, когда корень \(\sqrt{x}\) имеет смысл и не равен нулю: \(x \geqslant 0\) и \(x \ne 0\), то есть при \(x > 0\);
8) \(\sqrt{x^2} = |x|\) имеет смысл при любом \(x\), а знаменатель \(|x|\) отличен от нуля при \(x \ne 0\), поэтому \(\frac{1}{\sqrt{x^2}}\) имеет смысл при \(x \ne 0\);
9) \(\sqrt[3]{x}\) имеет смысл при любом \(x\);
10) \(\sqrt[3]{x} = 0\) только при \(x = 0\), поэтому \(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\) имеет смысл при \(x \ne 0\).
Ответ: 1) при \(x \geqslant 0\); 2) при любом \(x\); 3) при \(x \leqslant 0\); 4) при любом \(x\); 5) при \(x \geqslant 0\); 6) при \(x = 0\); 7) при \(x > 0\); 8) при \(x \ne 0\); 9) при любом \(x\); 10) при \(x \ne 0\).
