Страница 52 номер 2.4.34, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Упростить: 1) \(\left(x + \sqrt{(-x)^3} + \sqrt[6]{x^6} + \sqrt[4]{x^6}\right)\sqrt{-x}\); 2) \(\left(a + \sqrt{ab}\right)\left(a + b\right)^{-1}\left(\sqrt{a}\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^{-1} - \left(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b}}\right)^{-1}\right) \cdot \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\).
1) Выражение имеет смысл при \(x \leqslant 0\); тогда \(|x| = -x\) и \(\left|-x\right| = -x\).
\[\sqrt{(-x)^3} = \sqrt{(-x)^2 \cdot (-x)} = \sqrt{(-x)^2} \cdot \sqrt{-x} = \left|-x\right| \cdot \sqrt{-x} = -x\sqrt{-x}.\]
\(\sqrt[6]{x^6} = |x| = -x\).
Число \(\sqrt{(-x)^3}\) неотрицательно, и \(\left(\sqrt{(-x)^3}\right)^4 = (-x)^6 = x^6\), поэтому \(\sqrt[4]{x^6} = \sqrt{(-x)^3} = -x\sqrt{-x}\).
В скобках \(x + \left(-x\sqrt{-x}\right) + (-x) + \left(-x\sqrt{-x}\right) = -2x\sqrt{-x}\).
\[-2x\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x} = -2x\left(\sqrt{-x}\right)^2 = -2x \cdot (-x) = 2x^2.\]
2) Выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\), \(b > 0\) и \(a \ne b\). Заменив отрицательные показатели дробями, в скобках получаем
\[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right) - \sqrt{b}\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)} = {} \\ &= \frac{a + \sqrt{ab} - \sqrt{ab} + b}{a - b} = \frac{a + b}{a - b}. \end{aligned}\]
Так как \(a + \sqrt{ab} = \sqrt{a}\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\) и \(a - b = \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\), всё выражение равно
\[\begin{aligned} &\left(a + \sqrt{ab}\right) \cdot \frac{1}{a + b} \cdot \frac{a + b}{a - b} \cdot \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right) = \frac{\left(a + \sqrt{ab}\right)\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)}{a - b} = {} \\ &= \frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)} = \sqrt{a}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(2x^2\); 2) \(\sqrt{a}\).
Упростить: 1) \(\left(x + \sqrt{(-x)^3} + \sqrt[6]{x^6} + \sqrt[4]{x^6}\right)\sqrt{-x}\); 2) \(\left(a + \sqrt{ab}\right)\left(a + b\right)^{-1}\left(\sqrt{a}\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^{-1} - \left(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b}}\right)^{-1}\right) \cdot \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\).
1) Выражение имеет смысл лишь при \(-x \geqslant 0\), то есть при \(x \leqslant 0\); при таких \(x\) верно \(|x| = -x\). Преобразуем слагаемые в скобках.
Так как \(-x \geqslant 0\), то \(\left|-x\right| = -x\), поэтому
\[\sqrt{(-x)^3} = \sqrt{(-x)^2 \cdot (-x)} = \sqrt{(-x)^2} \cdot \sqrt{-x} = \left|-x\right| \cdot \sqrt{-x} = -x\sqrt{-x}.\]
Корень шестой степени из числа \(x^6\) — это неотрицательное число, шестая степень которого равна \(x^6\); таким числом является \(|x|\), поэтому \(\sqrt[6]{x^6} = |x| = -x\).
Корень четвёртой степени из числа \(x^6\) — это неотрицательное число, четвёртая степень которого равна \(x^6\). Число \(\sqrt{(-x)^3}\) неотрицательно, и \(\left(\sqrt{(-x)^3}\right)^4 = \left((-x)^3\right)^2 = (-x)^6 = x^6\), поэтому \(\sqrt[4]{x^6} = \sqrt{(-x)^3} = -x\sqrt{-x}\).
Значит, в скобках стоит выражение
\[x + \left(-x\sqrt{-x}\right) + (-x) + \left(-x\sqrt{-x}\right) = -2x\sqrt{-x}.\]
Умножив его на \(\sqrt{-x}\), получим
\[-2x\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x} = -2x\left(\sqrt{-x}\right)^2 = -2x \cdot (-x) = 2x^2.\]
2) Выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\), \(b > 0\) и \(a \ne b\).
По определению степени с целым отрицательным показателем \((a + b)^{-1} = \frac{1}{a + b}\), \(\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\) и \(\left(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b}}\right)^{-1} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\).
Выражение в скобках равно
\[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right) - \sqrt{b}\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)} = {} \\ &= \frac{a + \sqrt{ab} - \sqrt{ab} + b}{a - b} = \frac{a + b}{a - b}. \end{aligned}\]
Всё выражение принимает вид
\[\left(a + \sqrt{ab}\right) \cdot \frac{1}{a + b} \cdot \frac{a + b}{a - b} \cdot \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right) = \frac{\left(a + \sqrt{ab}\right)\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)}{a - b}.\]
Так как \(a + \sqrt{ab} = \sqrt{a}\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\) и \(a - b = \left(\sqrt{a}\right)^2 - \left(\sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\), получаем
\[\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)} = \sqrt{a}.\]
Ответ: 1) \(2x^2\); 2) \(\sqrt{a}\).
