Страница 52 номер 2.4.33, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Разложить на множители: 1) \(x^4 + 1\); 2) \(x^4 + a\), где \(a \ne 0\); 3) \(x^4 + \sqrt{x^2} + 3x + \left(\sqrt{-x}\right)^2\).
1) Прибавим и вычтем \(2x^2 = \left(x\sqrt{2}\right)^2\):
\[x^4 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 = \left(x^2 + 1\right)^2 - \left(x\sqrt{2}\right)^2 = \left(x^2 - \sqrt{2}x + 1\right)\left(x^2 + \sqrt{2}x + 1\right).\]
2) Знак числа \(a\) не задан — два случая.
Если \(a < 0\), то \(-a > 0\) и \(-a = \left(\sqrt{-a}\right)^2\), а \(\sqrt{-a} = \left(\sqrt[4]{-a}\right)^2\), поэтому
\[x^4 + a = \left(x^2\right)^2 - \left(\sqrt{-a}\right)^2 = \left(x^2 - \sqrt{-a}\right)\left(x^2 + \sqrt{-a}\right) = \left(x - \sqrt[4]{-a}\right)\left(x + \sqrt[4]{-a}\right)\left(x^2 + \sqrt{-a}\right).\]
Если \(a > 0\), то \(\left(\sqrt[4]{4a}\right)^2 = \sqrt{4a} = 2\sqrt{a}\) и \(2x^2\sqrt{a} = \left(x\sqrt[4]{4a}\right)^2\); прибавим и вычтем \(2x^2\sqrt{a}\):
\[\begin{aligned} &x^4 + a = x^4 + 2x^2\sqrt{a} + a - 2x^2\sqrt{a} = \left(x^2 + \sqrt{a}\right)^2 - \left(x\sqrt[4]{4a}\right)^2 = {} \\ &= \left(x^2 - x\sqrt[4]{4a} + \sqrt{a}\right)\left(x^2 + x\sqrt[4]{4a} + \sqrt{a}\right). \end{aligned}\]
3) Выражение имеет смысл при \(-x \geqslant 0\), то есть при \(x \leqslant 0\); тогда \(\sqrt{x^2} = |x| = -x\) и \(\left(\sqrt{-x}\right)^2 = -x\):
\[x^4 + \sqrt{x^2} + 3x + \left(\sqrt{-x}\right)^2 = x^4 - x + 3x - x = x^4 + x = x\left(x^3 + 1\right) = x(x + 1)\left(x^2 - x + 1\right).\]
Ответ: 1) \(\left(x^2 - \sqrt{2}x + 1\right)\left(x^2 + \sqrt{2}x + 1\right)\); 2) при \(a < 0\) — \(\left(x - \sqrt[4]{-a}\right)\left(x + \sqrt[4]{-a}\right)\left(x^2 + \sqrt{-a}\right)\), при \(a > 0\) — \(\left(x^2 - x\sqrt[4]{4a} + \sqrt{a}\right)\left(x^2 + x\sqrt[4]{4a} + \sqrt{a}\right)\); 3) \(x(x + 1)\left(x^2 - x + 1\right)\).
Разложить на множители: 1) \(x^4 + 1\); 2) \(x^4 + a\), где \(a \ne 0\); 3) \(x^4 + \sqrt{x^2} + 3x + \left(\sqrt{-x}\right)^2\).
1) Прибавим к двучлену \(x^4 + 1\) слагаемое \(2x^2\) и вычтем его же. Так как \(2x^2 = \left(x\sqrt{2}\right)^2\), получаем разность квадратов:
\[x^4 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 = \left(x^2 + 1\right)^2 - \left(x\sqrt{2}\right)^2.\]
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы, поэтому
\[x^4 + 1 = \left(x^2 - \sqrt{2}x + 1\right)\left(x^2 + \sqrt{2}x + 1\right).\]
2) Знак числа \(a\) не задан, поэтому рассмотрим два случая.
Если \(a < 0\), то \(-a > 0\) и \(-a = \left(\sqrt{-a}\right)^2\), поэтому
\[x^4 + a = \left(x^2\right)^2 - \left(\sqrt{-a}\right)^2 = \left(x^2 - \sqrt{-a}\right)\left(x^2 + \sqrt{-a}\right).\]
Первый множитель — тоже разность квадратов. Число \(\sqrt[4]{-a}\) неотрицательно, и его четвёртая степень равна \(-a\), значит, число \(\left(\sqrt[4]{-a}\right)^2\) неотрицательно, а его квадрат равен \(-a\), то есть \(\left(\sqrt[4]{-a}\right)^2 = \sqrt{-a}\). Поэтому \(x^2 - \sqrt{-a} = \left(x - \sqrt[4]{-a}\right)\left(x + \sqrt[4]{-a}\right)\), и разложение двучлена принимает вид
\[x^4 + a = \left(x - \sqrt[4]{-a}\right)\left(x + \sqrt[4]{-a}\right)\left(x^2 + \sqrt{-a}\right).\]
Если \(a > 0\), то \(a = \left(\sqrt{a}\right)^2\). Число \(\left(\sqrt[4]{4a}\right)^2\) неотрицательно, а его квадрат равен \(4a\), поэтому \(\left(\sqrt[4]{4a}\right)^2 = \sqrt{4a} = 2\sqrt{a}\) и \(2x^2\sqrt{a} = \left(x\sqrt[4]{4a}\right)^2\). Прибавим к двучлену \(x^4 + a\) слагаемое \(2x^2\sqrt{a}\) и вычтем его же:
\[\begin{aligned} &x^4 + a = x^4 + 2x^2\sqrt{a} + a - 2x^2\sqrt{a} = \left(x^2 + \sqrt{a}\right)^2 - \left(x\sqrt[4]{4a}\right)^2 = {} \\ &= \left(x^2 - x\sqrt[4]{4a} + \sqrt{a}\right)\left(x^2 + x\sqrt[4]{4a} + \sqrt{a}\right). \end{aligned}\]
3) Выражение \(\sqrt{-x}\) имеет смысл лишь при \(-x \geqslant 0\), то есть при \(x \leqslant 0\). При таких \(x\) верно \(\sqrt{x^2} = |x| = -x\) и \(\left(\sqrt{-x}\right)^2 = -x\), поэтому
\[x^4 + \sqrt{x^2} + 3x + \left(\sqrt{-x}\right)^2 = x^4 - x + 3x - x = x^4 + x.\]
Вынесем общий множитель \(x\) за скобки и разложим сумму кубов:
\[x^4 + x = x\left(x^3 + 1\right) = x(x + 1)\left(x^2 - x + 1\right).\]
Ответ: 1) \(\left(x^2 - \sqrt{2}x + 1\right)\left(x^2 + \sqrt{2}x + 1\right)\); 2) при \(a < 0\) — \(\left(x - \sqrt[4]{-a}\right)\left(x + \sqrt[4]{-a}\right)\left(x^2 + \sqrt{-a}\right)\), при \(a > 0\) — \(\left(x^2 - x\sqrt[4]{4a} + \sqrt{a}\right)\left(x^2 + x\sqrt[4]{4a} + \sqrt{a}\right)\); 3) \(x(x + 1)\left(x^2 - x + 1\right)\).
