Страница 52 номер 2.4.32, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение: 1) \((\sqrt{5x - 7})^2 = 7 - 5x\); 2) \(\sqrt{(5x - 7)^2} = 7 - 5x\); 3) \(\sqrt{1 - |x|} + 3\sqrt[4]{x^2} - \sqrt{2|x| - 2} + x\sqrt[3]{-x} - 2 = 0\).
1) Левая часть имеет смысл при \(5x - 7 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 1{,}4\); при таких \(x\) верно \(\left(\sqrt{5x - 7}\right)^2 = 5x - 7\):
\[5x - 7 = 7 - 5x.\]
\(10x = 14\); \(x = 1{,}4\) — условию \(x \geqslant 1{,}4\) удовлетворяет, значит, это корень уравнения.
2) При любом \(x\) верно \(\sqrt{(5x - 7)^2} = |5x - 7|\):
\[|5x - 7| = 7 - 5x.\]
Если \(5x - 7 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 1{,}4\), то \(5x - 7 = 7 - 5x\), откуда \(10x = 14\); \(x = 1{,}4\) — условию удовлетворяет.
Если \(5x - 7 < 0\), то есть \(x < 1{,}4\), то левая часть равна \(7 - 5x\) и уравнение обращается в верное равенство \(7 - 5x = 7 - 5x\), значит, корнем является каждое число \(x < 1{,}4\).
Объединяя оба случая, получаем все числа \(x \leqslant 1{,}4\).
3) Квадратные корни \(\sqrt{1 - |x|}\) и \(\sqrt{2|x| - 2}\) имеют смысл только при
\[\begin{cases} 1 - |x| \geqslant 0, \\ 2|x| - 2 \geqslant 0. \end{cases}\]
Отсюда \(|x| \leqslant 1\) и \(|x| \geqslant 1\) одновременно, то есть \(|x| = 1\), поэтому корнями могут быть только числа \(-1\) и 1.
При \(x = 1\): \(\sqrt{1 - |1|} = \sqrt{0} = 0\), \(\sqrt{2|1| - 2} = \sqrt{0} = 0\), \(\sqrt[4]{1^2} = 1\), \(1 \cdot \sqrt[3]{-1} = 1 \cdot (-1) = -1\), левая часть равна \(0 + 3 \cdot 1 - 0 - 1 - 2 = 0\).
При \(x = -1\): \(\sqrt{1 - |-1|} = \sqrt{0} = 0\), \(\sqrt{2|-1| - 2} = \sqrt{0} = 0\), \(\sqrt[4]{(-1)^2} = 1\), \((-1) \cdot \sqrt[3]{1} = (-1) \cdot 1 = -1\), левая часть равна \(0 + 3 \cdot 1 - 0 - 1 - 2 = 0\).
Оба числа обращают уравнение в верное равенство.
Ответ: 1) \(x = 1{,}4\); 2) \(x \leqslant 1{,}4\); 3) \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\).
Решить уравнение: 1) \((\sqrt{5x - 7})^2 = 7 - 5x\); 2) \(\sqrt{(5x - 7)^2} = 7 - 5x\); 3) \(\sqrt{1 - |x|} + 3\sqrt[4]{x^2} - \sqrt{2|x| - 2} + x\sqrt[3]{-x} - 2 = 0\).
1) Левая часть уравнения \(\left(\sqrt{5x - 7}\right)^2 = 7 - 5x\) имеет смысл лишь при \(5x - 7 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 1{,}4\). При таких \(x\) верно \(\left(\sqrt{5x - 7}\right)^2 = 5x - 7\), и уравнение принимает вид
\[5x - 7 = 7 - 5x.\]
Отсюда \(10x = 14\); \(x = 1{,}4\). Найденное число удовлетворяет условию \(x \geqslant 1{,}4\), значит, оно является корнем уравнения.
2) При любом \(x\) верно \(\sqrt{(5x - 7)^2} = |5x - 7|\), поэтому уравнение принимает вид
\[|5x - 7| = 7 - 5x.\]
По определению модуля \(|5x - 7| = 5x - 7\) при \(5x - 7 \geqslant 0\) и \(|5x - 7| = -(5x - 7) = 7 - 5x\) при \(5x - 7 < 0\). Рассмотрим оба случая.
Если \(5x - 7 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 1{,}4\), то уравнение принимает вид \(5x - 7 = 7 - 5x\), откуда \(10x = 14\); \(x = 1{,}4\). Это число удовлетворяет условию \(x \geqslant 1{,}4\).
Если \(5x - 7 < 0\), то есть \(x < 1{,}4\), то левая часть равна \(7 - 5x\) и уравнение обращается в верное равенство \(7 - 5x = 7 - 5x\). Значит, корнем является каждое число \(x < 1{,}4\).
Объединяя оба случая, получаем, что корнями уравнения являются все числа \(x \leqslant 1{,}4\).
3) Корень четвёртой степени из неотрицательного числа \(c\) — это неотрицательное число, четвёртая степень которого равна \(c\); кубический корень из числа \(c\) — это число, куб которого равен \(c\) (он определён при любом \(c\)).
Квадратные корни \(\sqrt{1 - |x|}\) и \(\sqrt{2|x| - 2}\) имеют смысл только при одновременном выполнении условий
\[\begin{cases} 1 - |x| \geqslant 0, \\ 2|x| - 2 \geqslant 0. \end{cases}\]
Отсюда \(|x| \leqslant 1\) и \(|x| \geqslant 1\) одновременно, то есть \(|x| = 1\). Значит, корнями уравнения могут быть только числа \(-1\) и 1. Проверим каждое из них.
При \(x = 1\) имеем \(\sqrt{1 - |1|} = \sqrt{0} = 0\), \(\sqrt{2|1| - 2} = \sqrt{0} = 0\), \(\sqrt[4]{1^2} = 1\) и \(1 \cdot \sqrt[3]{-1} = 1 \cdot (-1) = -1\), поэтому левая часть равна \(0 + 3 \cdot 1 - 0 - 1 - 2 = 0\).
При \(x = -1\) имеем \(\sqrt{1 - |-1|} = \sqrt{0} = 0\), \(\sqrt{2|-1| - 2} = \sqrt{0} = 0\), \(\sqrt[4]{(-1)^2} = 1\) и \((-1) \cdot \sqrt[3]{1} = (-1) \cdot 1 = -1\), поэтому левая часть равна \(0 + 3 \cdot 1 - 0 - 1 - 2 = 0\).
Оба числа обращают уравнение в верное равенство.
Ответ: 1) \(x = 1{,}4\); 2) \(x \leqslant 1{,}4\); 3) \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\).
