Страница 52 номер 2.4.31, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что: 1) если \(ab \ge 0\), то \(\sqrt{ab} = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{|b|}\); 2) если \(ab > 0\), то \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}\).
1) Обе части имеют смысл: \(|a| \geqslant 0\), \(|b| \geqslant 0\), а \(ab \geqslant 0\) по условию. Произведение чисел разных знаков отрицательно, поэтому \(a\) и \(b\) оба неотрицательны либо оба неположительны.
Если \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\), то \(|a| = a\) и \(|b| = b\):
\[\sqrt{|a|} \cdot \sqrt{|b|} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}.\]
Если \(a \leqslant 0\) и \(b \leqslant 0\), то \(|a| = -a \geqslant 0\), \(|b| = -b \geqslant 0\) и \((-a)(-b) = ab\):
\[\sqrt{|a|} \cdot \sqrt{|b|} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} = \sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{ab}.\]
В обоих случаях равенство верно, что и требовалось доказать.
2) Из \(ab > 0\) следует, что \(a\) и \(b\) отличны от нуля и одного знака, поэтому \(\frac{a}{b} > 0\) и обе части имеют смысл.
Если \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(|a| = a\) и \(|b| = b\):
\[\frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}.\]
Если \(a < 0\) и \(b < 0\), то \(|a| = -a > 0\), \(|b| = -b > 0\) и \(\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}\):
\[\frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}} = \frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} = \sqrt{\frac{-a}{-b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}.\]
В обоих случаях равенство верно, что и требовалось доказать.
Ответ: равенство \(\sqrt{ab} = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{|b|}\) при \(ab \geqslant 0\) и равенство \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}\) при \(ab > 0\) доказаны.
Доказать, что: 1) если \(ab \ge 0\), то \(\sqrt{ab} = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{|b|}\); 2) если \(ab > 0\), то \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}\).
1) Выражения \(\sqrt{|a|}\) и \(\sqrt{|b|}\) имеют смысл при любых \(a\) и \(b\), так как \(|a| \geqslant 0\) и \(|b| \geqslant 0\); выражение \(\sqrt{ab}\) имеет смысл, так как по условию \(ab \geqslant 0\).
Произведение чисел разных знаков отрицательно, поэтому из условия \(ab \geqslant 0\) следует, что числа \(a\) и \(b\) либо оба неотрицательны, либо оба неположительны. Рассмотрим эти два случая.
Если \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\), то \(|a| = a\) и \(|b| = b\), и по теореме о корне из произведения неотрицательных множителей
\[\sqrt{|a|} \cdot \sqrt{|b|} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}.\]
Если \(a \leqslant 0\) и \(b \leqslant 0\), то \(|a| = -a \geqslant 0\) и \(|b| = -b \geqslant 0\), причём \((-a)(-b) = ab\), поэтому
\[\sqrt{|a|} \cdot \sqrt{|b|} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} = \sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{ab}.\]
В обоих случаях \(\sqrt{ab} = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{|b|}\), что и требовалось доказать.
2) Из условия \(ab > 0\) следует, что числа \(a\) и \(b\) отличны от нуля и имеют одинаковые знаки. Тогда \(\frac{a}{b} > 0\), то есть выражение \(\sqrt{\frac{a}{b}}\) имеет смысл, а из \(|a| > 0\) и \(|b| > 0\) следует, что имеет смысл и дробь \(\frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}\). Рассмотрим два случая.
Если \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(|a| = a\) и \(|b| = b\), и по теореме о корне из дроби
\[\frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}.\]
Если \(a < 0\) и \(b < 0\), то \(|a| = -a > 0\) и \(|b| = -b > 0\), причём \(\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}\), поэтому
\[\frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}} = \frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} = \sqrt{\frac{-a}{-b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}.\]
В обоих случаях \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}\), что и требовалось доказать.
Ответ: равенство \(\sqrt{ab} = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{|b|}\) при \(ab \geqslant 0\) и равенство \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}\) при \(ab > 0\) доказаны.
