Страница 52 номер 2.4.30, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Внести множитель под знак корня: 1) \(|x|\sqrt{-x}\); 2) \(x\sqrt{-x}\); 3) \(-x\sqrt{x}\); 4) \(-x\sqrt{|x|}\).
1) Выражение имеет смысл при \(x \leqslant 0\); тогда \(|x| = -x \geqslant 0\):
\[|x|\sqrt{-x} = (-x)\sqrt{-x} = \sqrt{(-x)^2}\cdot\sqrt{-x} = \sqrt{(-x)^2 \cdot (-x)} = \sqrt{(-x)^3}.\]
2) Выражение имеет смысл при \(x \leqslant 0\); множитель \(x\) неположителен, поэтому вносим под корень противоположный ему \(-x\), а «минус» оставляем перед корнем:
\[x\sqrt{-x} = -(-x)\sqrt{-x} = -\sqrt{(-x)^2}\cdot\sqrt{-x} = -\sqrt{(-x)^2 \cdot (-x)} = -\sqrt{(-x)^3}.\]
3) Выражение имеет смысл при \(x \geqslant 0\); множитель \(-x\) неположителен, а противоположный ему \(x\) неотрицателен:
\[-x\sqrt{x} = -\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{x} = -\sqrt{x^2 \cdot x} = -\sqrt{x^3}.\]
4) Выражение имеет смысл при любом \(x\), так как \(|x| \geqslant 0\); знак множителя \(-x\) зависит от знака \(x\).
Если \(x < 0\), то \(-x > 0\) и \(|x| = -x\):
\[-x\sqrt{|x|} = (-x)\sqrt{-x} = \sqrt{(-x)^2}\cdot\sqrt{-x} = \sqrt{(-x)^3}.\]
Если \(x \geqslant 0\), то множитель \(-x\) неположителен и \(|x| = x\):
\[-x\sqrt{|x|} = -x\sqrt{x} = -\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{x} = -\sqrt{x^3}.\]
Ответ: 1) \(\sqrt{(-x)^3}\); 2) \(-\sqrt{(-x)^3}\); 3) \(-\sqrt{x^3}\); 4) \(\sqrt{(-x)^3}\) при \(x < 0\) и \(-\sqrt{x^3}\) при \(x \geqslant 0\).
Внести множитель под знак корня: 1) \(|x|\sqrt{-x}\); 2) \(x\sqrt{-x}\); 3) \(-x\sqrt{x}\); 4) \(-x\sqrt{|x|}\).
Под знак корня вносят только неотрицательный множитель: если \(c \geqslant 0\), то \(c\sqrt{t} = \sqrt{c^2}\cdot\sqrt{t} = \sqrt{c^2 t}\). Отрицательный множитель под знак корня не вносится — он остаётся перед корнем.
1) Выражение \(|x|\sqrt{-x}\) имеет смысл лишь при \(-x \geqslant 0\), то есть при \(x \leqslant 0\). При таких \(x\) верно \(|x| = -x\), причём этот множитель неотрицателен, поэтому \(-x = \sqrt{(-x)^2}\). Получаем:
\[|x|\sqrt{-x} = (-x)\sqrt{-x} = \sqrt{(-x)^2}\cdot\sqrt{-x} = \sqrt{(-x)^2 \cdot (-x)} = \sqrt{(-x)^3}.\]
2) Выражение \(x\sqrt{-x}\) имеет смысл при \(x \leqslant 0\). При таких \(x\) множитель \(x\) неположителен, поэтому под знак корня вносим противоположный ему неотрицательный множитель \(-x = \sqrt{(-x)^2}\), а знак «минус» оставляем перед корнем:
\[x\sqrt{-x} = -(-x)\sqrt{-x} = -\sqrt{(-x)^2}\cdot\sqrt{-x} = -\sqrt{(-x)^2 \cdot (-x)} = -\sqrt{(-x)^3}.\]
3) Выражение \(-x\sqrt{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\). При таких \(x\) множитель \(-x\) неположителен, а противоположный ему множитель \(x\) неотрицателен, поэтому \(x = \sqrt{x^2}\). Получаем:
\[-x\sqrt{x} = -\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{x} = -\sqrt{x^2 \cdot x} = -\sqrt{x^3}.\]
4) Выражение \(-x\sqrt{|x|}\) имеет смысл при любом \(x\), так как \(|x| \geqslant 0\). Знак множителя \(-x\) зависит от знака \(x\), поэтому рассмотрим два случая.
Если \(x < 0\), то \(-x > 0\) и \(|x| = -x\), поэтому
\[-x\sqrt{|x|} = (-x)\sqrt{-x} = \sqrt{(-x)^2}\cdot\sqrt{-x} = \sqrt{(-x)^3}.\]
Если \(x \geqslant 0\), то множитель \(-x\) неположителен и \(|x| = x\), поэтому
\[-x\sqrt{|x|} = -x\sqrt{x} = -\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{x} = -\sqrt{x^3}.\]
Ответ: 1) \(\sqrt{(-x)^3}\); 2) \(-\sqrt{(-x)^3}\); 3) \(-\sqrt{x^3}\); 4) \(\sqrt{(-x)^3}\) при \(x < 0\) и \(-\sqrt{x^3}\) при \(x \geqslant 0\).
