Страница 52 номер 2.4.29, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Выполнить действия: 1) \((a - \sqrt{a} + 1)(a + \sqrt{a} + 1)(a^2 - a + 1)\); 2) \(\left(\frac{\sqrt{n}}{m + \sqrt{mn}} - \frac{\sqrt{n}}{m - \sqrt{mn}}\right) : \frac{2\sqrt{mn}}{m - n}\); 3) \(\frac{\sqrt{3 - x} - \frac{4}{\sqrt{x + 3}}}{\frac{4}{\sqrt{9 - x^2}} - 1}\); 4) \(\frac{\frac{1}{\sqrt{x^2 - y^2}} - 7}{7\sqrt{x - y} - \frac{1}{\sqrt{x + y}}}\).
1) При \(a \geqslant 0\):
\[\begin{aligned} &\left(a - \sqrt{a} + 1\right)\left(a + \sqrt{a} + 1\right)\left(a^2 - a + 1\right) = \left((a + 1)^2 - \left(\sqrt{a}\right)^2\right)\left(a^2 - a + 1\right) = {} \\ &= \left(a^2 + a + 1\right)\left(a^2 - a + 1\right) = \left(a^2 + 1\right)^2 - a^2 = a^4 + a^2 + 1. \end{aligned}\]
2) Выражение имеет смысл при \(m > 0\), \(n > 0\) и \(m \ne n\).
\(m + \sqrt{mn} = \sqrt{m}\left(\sqrt{m} + \sqrt{n}\right)\) — знаменатель первой дроби.
\(m - \sqrt{mn} = \sqrt{m}\left(\sqrt{m} - \sqrt{n}\right)\) — знаменатель второй дроби.
\[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{n}}{m + \sqrt{mn}} - \frac{\sqrt{n}}{m - \sqrt{mn}} = \frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{m} - \sqrt{n}\right) - \sqrt{n}\left(\sqrt{m} + \sqrt{n}\right)}{\sqrt{m}\left(\sqrt{m} + \sqrt{n}\right)\left(\sqrt{m} - \sqrt{n}\right)} = {} \\ &= \frac{-2n}{\sqrt{m}(m - n)}. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &\frac{-2n}{\sqrt{m}(m - n)} : \frac{2\sqrt{mn}}{m - n} = \frac{-2n}{\sqrt{m}(m - n)} \cdot \frac{m - n}{2\sqrt{mn}} = {} \\ &= \frac{-n}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{mn}} = \frac{-n}{m\sqrt{n}} = -\frac{\sqrt{n}}{m}. \end{aligned}\]
3) Выражение имеет смысл при \(-3 < x < 3\), причём \(9 - x^2 \leqslant 9\), поэтому \(\sqrt{9 - x^2} < 4\) и знаменатель в нуль не обращается.
Числитель: \(\sqrt{3 - x} - \frac{4}{\sqrt{x + 3}} = \frac{\sqrt{3 - x} \cdot \sqrt{x + 3} - 4}{\sqrt{x + 3}} = \frac{\sqrt{9 - x^2} - 4}{\sqrt{x + 3}}\).
Знаменатель: \(\frac{4}{\sqrt{9 - x^2}} - 1 = \frac{4 - \sqrt{9 - x^2}}{\sqrt{9 - x^2}}\).
Числитель первой дроби противоположен знаменателю второй: \(\sqrt{9 - x^2} - 4 = -\left(4 - \sqrt{9 - x^2}\right)\).
\[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{9 - x^2} - 4}{\sqrt{x + 3}} : \frac{4 - \sqrt{9 - x^2}}{\sqrt{9 - x^2}} = \frac{\sqrt{9 - x^2} - 4}{\sqrt{x + 3}} \cdot \frac{\sqrt{9 - x^2}}{4 - \sqrt{9 - x^2}} = {} \\ &= -\frac{\sqrt{9 - x^2}}{\sqrt{x + 3}} = -\sqrt{\frac{9 - x^2}{x + 3}} = -\sqrt{3 - x}. \end{aligned}\]
4) Выражение имеет смысл при \(x - y > 0\), \(x + y > 0\) и \(7\sqrt{x^2 - y^2} \ne 1\).
Числитель: \(\frac{1}{\sqrt{x^2 - y^2}} - 7 = \frac{1 - 7\sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{x^2 - y^2}}\).
Знаменатель: \(7\sqrt{x - y} - \frac{1}{\sqrt{x + y}} = \frac{7\sqrt{x - y} \cdot \sqrt{x + y} - 1}{\sqrt{x + y}} = \frac{7\sqrt{x^2 - y^2} - 1}{\sqrt{x + y}}\).
\[\begin{aligned} &\frac{1 - 7\sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{x^2 - y^2}} : \frac{7\sqrt{x^2 - y^2} - 1}{\sqrt{x + y}} = \frac{1 - 7\sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{x^2 - y^2}} \cdot \frac{\sqrt{x + y}}{7\sqrt{x^2 - y^2} - 1} = {} \\ &= -\frac{\sqrt{x + y}}{\sqrt{x^2 - y^2}} = -\frac{\sqrt{x + y}}{\sqrt{x + y} \cdot \sqrt{x - y}} = -\frac{1}{\sqrt{x - y}}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(a^4 + a^2 + 1\); 2) \(-\frac{\sqrt{n}}{m}\); 3) \(-\sqrt{3 - x}\); 4) \(-\frac{1}{\sqrt{x - y}}\).
Выполнить действия: 1) \((a - \sqrt{a} + 1)(a + \sqrt{a} + 1)(a^2 - a + 1)\); 2) \(\left(\frac{\sqrt{n}}{m + \sqrt{mn}} - \frac{\sqrt{n}}{m - \sqrt{mn}}\right) : \frac{2\sqrt{mn}}{m - n}\); 3) \(\frac{\sqrt{3 - x} - \frac{4}{\sqrt{x + 3}}}{\frac{4}{\sqrt{9 - x^2}} - 1}\); 4) \(\frac{\frac{1}{\sqrt{x^2 - y^2}} - 7}{7\sqrt{x - y} - \frac{1}{\sqrt{x + y}}}\).
1) Выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\). В первых двух скобках соберём \(a + 1\) и применим формулу разности квадратов дважды.
\[\begin{aligned} &\left(a - \sqrt{a} + 1\right)\left(a + \sqrt{a} + 1\right)\left(a^2 - a + 1\right) = \left((a + 1)^2 - \left(\sqrt{a}\right)^2\right)\left(a^2 - a + 1\right) = {} \\ &= \left(a^2 + a + 1\right)\left(a^2 - a + 1\right) = \left(a^2 + 1\right)^2 - a^2 = a^4 + a^2 + 1. \end{aligned}\]
2) Выражение имеет смысл при \(m > 0\), \(n > 0\) и \(m \ne n\). Знаменатели дробей в скобках разложим на множители: \(m + \sqrt{mn} = \sqrt{m}\left(\sqrt{m} + \sqrt{n}\right)\) и \(m - \sqrt{mn} = \sqrt{m}\left(\sqrt{m} - \sqrt{n}\right)\).
\[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{n}}{m + \sqrt{mn}} - \frac{\sqrt{n}}{m - \sqrt{mn}} = \frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{m} - \sqrt{n}\right) - \sqrt{n}\left(\sqrt{m} + \sqrt{n}\right)}{\sqrt{m}\left(\sqrt{m} + \sqrt{n}\right)\left(\sqrt{m} - \sqrt{n}\right)} = {} \\ &= \frac{-2n}{\sqrt{m}(m - n)}. \end{aligned}\]
Деление заменим умножением на дробь, обратную делителю.
\[\begin{aligned} &\frac{-2n}{\sqrt{m}(m - n)} : \frac{2\sqrt{mn}}{m - n} = \frac{-2n}{\sqrt{m}(m - n)} \cdot \frac{m - n}{2\sqrt{mn}} = {} \\ &= \frac{-n}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{mn}} = \frac{-n}{m\sqrt{n}} = -\frac{\sqrt{n}}{m}. \end{aligned}\]
3) Выражение имеет смысл при \(-3 < x < 3\), причём \(9 - x^2 \leqslant 9\), поэтому \(\sqrt{9 - x^2} < 4\) и знаменатель в нуль не обращается.
Числитель: \(\sqrt{3 - x} - \frac{4}{\sqrt{x + 3}} = \frac{\sqrt{3 - x} \cdot \sqrt{x + 3} - 4}{\sqrt{x + 3}} = \frac{\sqrt{9 - x^2} - 4}{\sqrt{x + 3}}\).
Знаменатель: \(\frac{4}{\sqrt{9 - x^2}} - 1 = \frac{4 - \sqrt{9 - x^2}}{\sqrt{9 - x^2}}\).
Дробная черта заменяет знак деления, а числитель первой дроби противоположен знаменателю второй: \(\sqrt{9 - x^2} - 4 = -\left(4 - \sqrt{9 - x^2}\right)\).
\[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{9 - x^2} - 4}{\sqrt{x + 3}} : \frac{4 - \sqrt{9 - x^2}}{\sqrt{9 - x^2}} = \frac{\sqrt{9 - x^2} - 4}{\sqrt{x + 3}} \cdot \frac{\sqrt{9 - x^2}}{4 - \sqrt{9 - x^2}} = {} \\ &= -\frac{\sqrt{9 - x^2}}{\sqrt{x + 3}} = -\sqrt{\frac{9 - x^2}{x + 3}} = -\sqrt{3 - x}. \end{aligned}\]
4) Выражение имеет смысл при \(x - y > 0\), \(x + y > 0\) и \(7\sqrt{x^2 - y^2} \ne 1\).
Числитель: \(\frac{1}{\sqrt{x^2 - y^2}} - 7 = \frac{1 - 7\sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{x^2 - y^2}}\).
Знаменатель: \(7\sqrt{x - y} - \frac{1}{\sqrt{x + y}} = \frac{7\sqrt{x - y} \cdot \sqrt{x + y} - 1}{\sqrt{x + y}} = \frac{7\sqrt{x^2 - y^2} - 1}{\sqrt{x + y}}\).
\[\begin{aligned} &\frac{1 - 7\sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{x^2 - y^2}} : \frac{7\sqrt{x^2 - y^2} - 1}{\sqrt{x + y}} = \frac{1 - 7\sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{x^2 - y^2}} \cdot \frac{\sqrt{x + y}}{7\sqrt{x^2 - y^2} - 1} = {} \\ &= -\frac{\sqrt{x + y}}{\sqrt{x^2 - y^2}} = -\frac{\sqrt{x + y}}{\sqrt{x + y} \cdot \sqrt{x - y}} = -\frac{1}{\sqrt{x - y}}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(a^4 + a^2 + 1\); 2) \(-\frac{\sqrt{n}}{m}\); 3) \(-\sqrt{3 - x}\); 4) \(-\frac{1}{\sqrt{x - y}}\).
