Страница 52 номер 2.4.28, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби: 1) \(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}\); 2) \(\frac{\sqrt{x + y} + \sqrt{x - y}}{\sqrt{x + y} - \sqrt{x - y}}\); 3) \(\frac{\sqrt{a(a + b)} - a}{\sqrt{a(a + b)} + a}\); 4) \(\frac{a + b - \sqrt{a^2 + b^2}}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}\).
1) Дробь имеет смысл при \(x \geqslant 0\). Множитель — разность \(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}\).
\[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}} = \frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}\right)^2}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}\right)\left(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}\right)} = {} \\ &= \frac{x - 2\sqrt{x(x + 1)} + x + 1}{x - (x + 1)} = \frac{2x + 1 - 2\sqrt{x^2 + x}}{-1} = 2\sqrt{x^2 + x} - 2x - 1. \end{aligned}\]
2) Дробь имеет смысл при \(x + y \geqslant 0\), \(x - y \geqslant 0\) и \(y \ne 0\). Множитель — сумма \(\sqrt{x + y} + \sqrt{x - y}\).
\[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{x + y} + \sqrt{x - y}}{\sqrt{x + y} - \sqrt{x - y}} = \frac{\left(\sqrt{x + y} + \sqrt{x - y}\right)^2}{\left(\sqrt{x + y} - \sqrt{x - y}\right)\left(\sqrt{x + y} + \sqrt{x - y}\right)} = {} \\ &= \frac{x + y + 2\sqrt{x^2 - y^2} + x - y}{(x + y) - (x - y)} = \frac{2x + 2\sqrt{x^2 - y^2}}{2y} = \frac{x + \sqrt{x^2 - y^2}}{y}. \end{aligned}\]
3) Дробь имеет смысл при \(a(a + b) \geqslant 0\), \(a \ne 0\) и \(b \ne 0\). Множитель — разность \(\sqrt{a(a + b)} - a\).
\[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{a(a + b)} - a}{\sqrt{a(a + b)} + a} = \frac{\left(\sqrt{a(a + b)} - a\right)^2}{\left(\sqrt{a(a + b)} + a\right)\left(\sqrt{a(a + b)} - a\right)} = {} \\ &= \frac{a^2 + ab - 2a\sqrt{a^2 + ab} + a^2}{a^2 + ab - a^2} = \frac{a\left(2a + b - 2\sqrt{a^2 + ab}\right)}{ab} = \frac{2a + b - 2\sqrt{a^2 + ab}}{b}. \end{aligned}\]
4) Дробь имеет смысл при \(a \ne 0\) и \(b \ne 0\). Множитель — разность \(a + b - \sqrt{a^2 + b^2}\).
\[\begin{aligned} &\frac{a + b - \sqrt{a^2 + b^2}}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{\left(a + b - \sqrt{a^2 + b^2}\right)^2}{\left(a + b + \sqrt{a^2 + b^2}\right)\left(a + b - \sqrt{a^2 + b^2}\right)} = {} \\ &= \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 2(a + b)\sqrt{a^2 + b^2} + a^2 + b^2}{(a + b)^2 - \left(a^2 + b^2\right)} = {} \\ &= \frac{2\left(a^2 + ab + b^2\right) - 2(a + b)\sqrt{a^2 + b^2}}{2ab} = \frac{a^2 + ab + b^2 - (a + b)\sqrt{a^2 + b^2}}{ab}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(2\sqrt{x^2 + x} - 2x - 1\); 2) \(\frac{x + \sqrt{x^2 - y^2}}{y}\); 3) \(\frac{2a + b - 2\sqrt{a^2 + ab}}{b}\); 4) \(\frac{a^2 + ab + b^2 - (a + b)\sqrt{a^2 + b^2}}{ab}\).
Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби: 1) \(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}\); 2) \(\frac{\sqrt{x + y} + \sqrt{x - y}}{\sqrt{x + y} - \sqrt{x - y}}\); 3) \(\frac{\sqrt{a(a + b)} - a}{\sqrt{a(a + b)} + a}\); 4) \(\frac{a + b - \sqrt{a^2 + b^2}}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}\).
Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, числитель и знаменатель дроби умножают на выражение, сопряжённое знаменателю: произведение суммы и разности даёт разность квадратов, и корни в знаменателе исчезают.
1) Дробь имеет смысл при \(x \geqslant 0\). Множитель — разность \(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}\).
\[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}} = \frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}\right)^2}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}\right)\left(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}\right)} = {} \\ &= \frac{x - 2\sqrt{x(x + 1)} + x + 1}{x - (x + 1)} = \frac{2x + 1 - 2\sqrt{x^2 + x}}{-1} = 2\sqrt{x^2 + x} - 2x - 1. \end{aligned}\]
2) Дробь имеет смысл при \(x + y \geqslant 0\), \(x - y \geqslant 0\) и \(y \ne 0\). Множитель — сумма \(\sqrt{x + y} + \sqrt{x - y}\).
\[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{x + y} + \sqrt{x - y}}{\sqrt{x + y} - \sqrt{x - y}} = \frac{\left(\sqrt{x + y} + \sqrt{x - y}\right)^2}{\left(\sqrt{x + y} - \sqrt{x - y}\right)\left(\sqrt{x + y} + \sqrt{x - y}\right)} = {} \\ &= \frac{x + y + 2\sqrt{x^2 - y^2} + x - y}{(x + y) - (x - y)} = \frac{2x + 2\sqrt{x^2 - y^2}}{2y} = \frac{x + \sqrt{x^2 - y^2}}{y}. \end{aligned}\]
3) Дробь имеет смысл при \(a(a + b) \geqslant 0\), \(a \ne 0\) и \(b \ne 0\). Множитель — разность \(\sqrt{a(a + b)} - a\).
\[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{a(a + b)} - a}{\sqrt{a(a + b)} + a} = \frac{\left(\sqrt{a(a + b)} - a\right)^2}{\left(\sqrt{a(a + b)} + a\right)\left(\sqrt{a(a + b)} - a\right)} = {} \\ &= \frac{a^2 + ab - 2a\sqrt{a^2 + ab} + a^2}{a^2 + ab - a^2} = \frac{a\left(2a + b - 2\sqrt{a^2 + ab}\right)}{ab} = \frac{2a + b - 2\sqrt{a^2 + ab}}{b}. \end{aligned}\]
4) Дробь имеет смысл при \(a \ne 0\) и \(b \ne 0\). Множитель — разность \(a + b - \sqrt{a^2 + b^2}\).
\[\begin{aligned} &\frac{a + b - \sqrt{a^2 + b^2}}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{\left(a + b - \sqrt{a^2 + b^2}\right)^2}{\left(a + b + \sqrt{a^2 + b^2}\right)\left(a + b - \sqrt{a^2 + b^2}\right)} = {} \\ &= \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 2(a + b)\sqrt{a^2 + b^2} + a^2 + b^2}{(a + b)^2 - \left(a^2 + b^2\right)} = {} \\ &= \frac{2\left(a^2 + ab + b^2\right) - 2(a + b)\sqrt{a^2 + b^2}}{2ab} = \frac{a^2 + ab + b^2 - (a + b)\sqrt{a^2 + b^2}}{ab}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(2\sqrt{x^2 + x} - 2x - 1\); 2) \(\frac{x + \sqrt{x^2 - y^2}}{y}\); 3) \(\frac{2a + b - 2\sqrt{a^2 + ab}}{b}\); 4) \(\frac{a^2 + ab + b^2 - (a + b)\sqrt{a^2 + b^2}}{ab}\).
