Страница 51 номер 2.4.27, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Возвести в указанную степень: 1) \(\left(a\sqrt{a} + b\sqrt{b}\right)^2\); 2) \(\left(\frac{1}{yx}\sqrt{x} - \frac{1}{y}\sqrt{y}\right)^2\); 3) \(\left(1 - \sqrt{a}\right)^3\); 4) \(\left(\sqrt{b} + \sqrt{a}\right)^3\).
1) При \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\):
\[\left(a\sqrt{a} + b\sqrt{b}\right)^2 = \left(a\sqrt{a}\right)^2 + 2 \cdot a\sqrt{a} \cdot b\sqrt{b} + \left(b\sqrt{b}\right)^2 = a^3 + 2ab\sqrt{ab} + b^3.\]
2) Выражение имеет смысл при \(x > 0\) и \(y > 0\).
\(\left(\frac{1}{yx}\sqrt{x}\right)^2 = \frac{x}{x^2 y^2} = \frac{1}{xy^2}\) — квадрат первого выражения.
\(\left(\frac{1}{y}\sqrt{y}\right)^2 = \frac{y}{y^2} = \frac{1}{y}\) — квадрат второго.
\(2 \cdot \frac{1}{yx}\sqrt{x} \cdot \frac{1}{y}\sqrt{y} = \frac{2\sqrt{xy}}{xy^2} = \frac{2}{y\sqrt{xy}}\) — удвоенное произведение, так как \(\frac{\sqrt{xy}}{xy} = \frac{1}{\sqrt{xy}}\).
\[\left(\frac{1}{yx}\sqrt{x} - \frac{1}{y}\sqrt{y}\right)^2 = \frac{1}{xy^2} - \frac{2}{y\sqrt{xy}} + \frac{1}{y}.\]
3) При \(a \geqslant 0\):
\[\left(1 - \sqrt{a}\right)^3 = 1 - 3\sqrt{a} + 3\left(\sqrt{a}\right)^2 - \left(\sqrt{a}\right)^3 = 1 - 3\sqrt{a} + 3a - a\sqrt{a}.\]
4) При \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\):
\[\begin{aligned} &\left(\sqrt{b} + \sqrt{a}\right)^3 = \left(\sqrt{b}\right)^3 + 3\left(\sqrt{b}\right)^2\sqrt{a} + 3\sqrt{b}\left(\sqrt{a}\right)^2 + \left(\sqrt{a}\right)^3 = {} \\ &= b\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} + 3a\sqrt{b} + a\sqrt{a}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(a^3 + 2ab\sqrt{ab} + b^3\); 2) \(\frac{1}{xy^2} - \frac{2}{y\sqrt{xy}} + \frac{1}{y}\); 3) \(1 - 3\sqrt{a} + 3a - a\sqrt{a}\); 4) \(b\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} + 3a\sqrt{b} + a\sqrt{a}\).
Возвести в указанную степень: 1) \(\left(a\sqrt{a} + b\sqrt{b}\right)^2\); 2) \(\left(\frac{1}{yx}\sqrt{x} - \frac{1}{y}\sqrt{y}\right)^2\); 3) \(\left(1 - \sqrt{a}\right)^3\); 4) \(\left(\sqrt{b} + \sqrt{a}\right)^3\).
1) Выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\).
\[\left(a\sqrt{a} + b\sqrt{b}\right)^2 = \left(a\sqrt{a}\right)^2 + 2 \cdot a\sqrt{a} \cdot b\sqrt{b} + \left(b\sqrt{b}\right)^2 = a^3 + 2ab\sqrt{ab} + b^3.\]
2) Выражение имеет смысл при \(x > 0\) и \(y > 0\). Квадрат первого выражения \(\left(\frac{1}{yx}\sqrt{x}\right)^2 = \frac{x}{x^2 y^2} = \frac{1}{xy^2}\), квадрат второго \(\left(\frac{1}{y}\sqrt{y}\right)^2 = \frac{y}{y^2} = \frac{1}{y}\), а удвоенное произведение \(2 \cdot \frac{1}{yx}\sqrt{x} \cdot \frac{1}{y}\sqrt{y} = \frac{2\sqrt{xy}}{xy^2} = \frac{2}{y\sqrt{xy}}\), так как \(\frac{\sqrt{xy}}{xy} = \frac{1}{\sqrt{xy}}\).
\[\left(\frac{1}{yx}\sqrt{x} - \frac{1}{y}\sqrt{y}\right)^2 = \frac{1}{xy^2} - \frac{2}{y\sqrt{xy}} + \frac{1}{y}.\]
3) Выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\).
\[\left(1 - \sqrt{a}\right)^3 = 1 - 3\sqrt{a} + 3\left(\sqrt{a}\right)^2 - \left(\sqrt{a}\right)^3 = 1 - 3\sqrt{a} + 3a - a\sqrt{a}.\]
4) Выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\).
\[\begin{aligned} &\left(\sqrt{b} + \sqrt{a}\right)^3 = \left(\sqrt{b}\right)^3 + 3\left(\sqrt{b}\right)^2\sqrt{a} + 3\sqrt{b}\left(\sqrt{a}\right)^2 + \left(\sqrt{a}\right)^3 = {} \\ &= b\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} + 3a\sqrt{b} + a\sqrt{a}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(a^3 + 2ab\sqrt{ab} + b^3\); 2) \(\frac{1}{xy^2} - \frac{2}{y\sqrt{xy}} + \frac{1}{y}\); 3) \(1 - 3\sqrt{a} + 3a - a\sqrt{a}\); 4) \(b\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} + 3a\sqrt{b} + a\sqrt{a}\).
