Страница 51 номер 2.4.26, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Разложить на множители, если \(a > b > 0\): 1) \(\sqrt{a + b} - \sqrt{a^2 - b^2}\); 2) \(\sqrt{ab - ac} - \sqrt{b^2 - bc}\); 3) \(\sqrt{a^3 - b^3} - \sqrt{a^2 + ab + b^2}\); 4) \(\sqrt{a^3 + b^3} + \sqrt{a^2 - b^2}\); 5) \(a - b - \sqrt{a^2 - b^2}\); 6) \(a + b - \sqrt{a^2 - b^2}\); 7) \(a - b\); 8) \(a - 4\); 9) \(ab - 5\); 10) \(ab - 3\).
Так как \(a > b > 0\), то \(a + b > 0\) и \(a - b > 0\), и каждый корень с буквами \(a\) и \(b\) имеет смысл.
1) \(\sqrt{a + b} - \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{a + b} - \sqrt{(a + b)(a - b)} = \sqrt{a + b}\left(1 - \sqrt{a - b}\right)\);
2) \(\sqrt{ab - ac} - \sqrt{b^2 - bc} = \sqrt{a(b - c)} - \sqrt{b(b - c)} = \sqrt{b - c}\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\) — оба корня имеют смысл при \(b - c \geqslant 0\);
3) \(\sqrt{a^3 - b^3} - \sqrt{a^2 + ab + b^2} = \sqrt{(a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right)} - \sqrt{a^2 + ab + b^2} = \sqrt{a^2 + ab + b^2}\left(\sqrt{a - b} - 1\right)\);
4) \(\sqrt{a^3 + b^3} + \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(a + b)\left(a^2 - ab + b^2\right)} + \sqrt{(a + b)(a - b)} = \sqrt{a + b}\left(\sqrt{a^2 - ab + b^2} + \sqrt{a - b}\right)\);
5) \(a - b - \sqrt{a^2 - b^2} = \left(\sqrt{a - b}\right)^2 - \sqrt{(a - b)(a + b)} = \sqrt{a - b}\left(\sqrt{a - b} - \sqrt{a + b}\right)\);
6) \(a + b - \sqrt{a^2 - b^2} = \left(\sqrt{a + b}\right)^2 - \sqrt{(a + b)(a - b)} = \sqrt{a + b}\left(\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}\right)\);
7) \(a - b = \left(\sqrt{a}\right)^2 - \left(\sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\);
8) \(a - 4 = \left(\sqrt{a}\right)^2 - 2^2 = \left(\sqrt{a} - 2\right)\left(\sqrt{a} + 2\right)\);
9) \(ab - 5 = \left(\sqrt{ab}\right)^2 - \left(\sqrt{5}\right)^2 = \left(\sqrt{ab} - \sqrt{5}\right)\left(\sqrt{ab} + \sqrt{5}\right)\);
10) \(ab - 3 = \left(\sqrt{ab}\right)^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2 = \left(\sqrt{ab} - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{ab} + \sqrt{3}\right)\).
Ответ: 1) \(\sqrt{a + b}\left(1 - \sqrt{a - b}\right)\); 2) \(\sqrt{b - c}\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\); 3) \(\sqrt{a^2 + ab + b^2}\left(\sqrt{a - b} - 1\right)\); 4) \(\sqrt{a + b}\left(\sqrt{a^2 - ab + b^2} + \sqrt{a - b}\right)\); 5) \(\sqrt{a - b}\left(\sqrt{a - b} - \sqrt{a + b}\right)\); 6) \(\sqrt{a + b}\left(\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}\right)\); 7) \(\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\); 8) \(\left(\sqrt{a} - 2\right)\left(\sqrt{a} + 2\right)\); 9) \(\left(\sqrt{ab} - \sqrt{5}\right)\left(\sqrt{ab} + \sqrt{5}\right)\); 10) \(\left(\sqrt{ab} - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{ab} + \sqrt{3}\right)\).
Разложить на множители, если \(a > b > 0\): 1) \(\sqrt{a + b} - \sqrt{a^2 - b^2}\); 2) \(\sqrt{ab - ac} - \sqrt{b^2 - bc}\); 3) \(\sqrt{a^3 - b^3} - \sqrt{a^2 + ab + b^2}\); 4) \(\sqrt{a^3 + b^3} + \sqrt{a^2 - b^2}\); 5) \(a - b - \sqrt{a^2 - b^2}\); 6) \(a + b - \sqrt{a^2 - b^2}\); 7) \(a - b\); 8) \(a - 4\); 9) \(ab - 5\); 10) \(ab - 3\).
Так как \(a > b > 0\), то \(a + b > 0\) и \(a - b > 0\), и каждый корень с буквами \(a\) и \(b\) имеет смысл. Общий множитель находят, разложив подкоренные выражения на множители, а число или букву представляют квадратом корня: \(a = \left(\sqrt{a}\right)^2\).
1) \(\sqrt{a + b} - \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{a + b} - \sqrt{(a + b)(a - b)} = \sqrt{a + b}\left(1 - \sqrt{a - b}\right)\);
2) \(\sqrt{ab - ac} - \sqrt{b^2 - bc} = \sqrt{a(b - c)} - \sqrt{b(b - c)} = \sqrt{b - c}\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\) — оба корня имеют смысл при \(b - c \geqslant 0\);
3) \(\sqrt{a^3 - b^3} - \sqrt{a^2 + ab + b^2} = \sqrt{(a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right)} - \sqrt{a^2 + ab + b^2} = \sqrt{a^2 + ab + b^2}\left(\sqrt{a - b} - 1\right)\);
4) \(\sqrt{a^3 + b^3} + \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(a + b)\left(a^2 - ab + b^2\right)} + \sqrt{(a + b)(a - b)} = \sqrt{a + b}\left(\sqrt{a^2 - ab + b^2} + \sqrt{a - b}\right)\);
5) \(a - b - \sqrt{a^2 - b^2} = \left(\sqrt{a - b}\right)^2 - \sqrt{(a - b)(a + b)} = \sqrt{a - b}\left(\sqrt{a - b} - \sqrt{a + b}\right)\);
6) \(a + b - \sqrt{a^2 - b^2} = \left(\sqrt{a + b}\right)^2 - \sqrt{(a + b)(a - b)} = \sqrt{a + b}\left(\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}\right)\);
7) \(a - b = \left(\sqrt{a}\right)^2 - \left(\sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\);
8) \(a - 4 = \left(\sqrt{a}\right)^2 - 2^2 = \left(\sqrt{a} - 2\right)\left(\sqrt{a} + 2\right)\);
9) \(ab - 5 = \left(\sqrt{ab}\right)^2 - \left(\sqrt{5}\right)^2 = \left(\sqrt{ab} - \sqrt{5}\right)\left(\sqrt{ab} + \sqrt{5}\right)\);
10) \(ab - 3 = \left(\sqrt{ab}\right)^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2 = \left(\sqrt{ab} - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{ab} + \sqrt{3}\right)\).
Ответ: 1) \(\sqrt{a + b}\left(1 - \sqrt{a - b}\right)\); 2) \(\sqrt{b - c}\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\); 3) \(\sqrt{a^2 + ab + b^2}\left(\sqrt{a - b} - 1\right)\); 4) \(\sqrt{a + b}\left(\sqrt{a^2 - ab + b^2} + \sqrt{a - b}\right)\); 5) \(\sqrt{a - b}\left(\sqrt{a - b} - \sqrt{a + b}\right)\); 6) \(\sqrt{a + b}\left(\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}\right)\); 7) \(\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\); 8) \(\left(\sqrt{a} - 2\right)\left(\sqrt{a} + 2\right)\); 9) \(\left(\sqrt{ab} - \sqrt{5}\right)\left(\sqrt{ab} + \sqrt{5}\right)\); 10) \(\left(\sqrt{ab} - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{ab} + \sqrt{3}\right)\).
