Страница 51 номер 2.4.25, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Выполнить действия: 1) \(\sqrt{\frac{1}{a - 2}} + \sqrt{\frac{a^3 - 2a^2}{a - 2}} - \sqrt{\frac{1}{a - 2} + a}\); 2) \(\sqrt{4b^3 - 4b^2} + (b^2 + b)\sqrt{\frac{b - 1}{b + 1}} - (b - 1)\sqrt{\frac{b^3 + b^2}{b - 1}}\); 3) \(\left(2\sqrt{mn} + m\sqrt{n} - n\sqrt{m}\right) : \sqrt{mn}\); 4) \(\left(\sqrt{\frac{m^2}{n}} + 2\sqrt{mn} - \sqrt{\frac{n^2}{m}}\right) : \sqrt{mn}\).
1) Все три корня имеют смысл при \(a > 2\); при таких \(a\) числа \(a\) и \(a - 1\) положительны.
\(\frac{a^3 - 2a^2}{a - 2} = \frac{a^2(a - 2)}{a - 2} = a^2\), поэтому \(\sqrt{\frac{a^3 - 2a^2}{a - 2}} = \sqrt{a^2} = |a| = a\).
\(\frac{1}{a - 2} + a = \frac{1 + a(a - 2)}{a - 2} = \frac{(a - 1)^2}{a - 2}\), поэтому \(\sqrt{\frac{1}{a - 2} + a} = \frac{|a - 1|}{\sqrt{a - 2}} = \frac{a - 1}{\sqrt{a - 2}}\).
\[\begin{aligned} &\sqrt{\frac{1}{a - 2}} + \sqrt{\frac{a^3 - 2a^2}{a - 2}} - \sqrt{\frac{1}{a - 2} + a} = \frac{1}{\sqrt{a - 2}} + a - \frac{a - 1}{\sqrt{a - 2}} = {} \\ &= \frac{2 - a}{\sqrt{a - 2}} + a = -\frac{a - 2}{\sqrt{a - 2}} + a = a - \sqrt{a - 2}. \end{aligned}\]
2) Все три корня имеют смысл при \(b > 1\); при таких \(b\) число \(b\) положительно.
\(\sqrt{4b^3 - 4b^2} = \sqrt{4b^2(b - 1)} = |2b|\sqrt{b - 1} = 2b\sqrt{b - 1}\).
\(\left(b^2 + b\right)\sqrt{\frac{b - 1}{b + 1}} = \frac{b(b + 1)\sqrt{b - 1}}{\sqrt{b + 1}} = b\sqrt{b + 1} \cdot \sqrt{b - 1} = b\sqrt{b^2 - 1}\).
\((b - 1)\sqrt{\frac{b^3 + b^2}{b - 1}} = (b - 1) \cdot \frac{|b|\sqrt{b + 1}}{\sqrt{b - 1}} = \frac{(b - 1)b\sqrt{b + 1}}{\sqrt{b - 1}} = b\sqrt{b^2 - 1}\).
Второе и третье слагаемые равны и при вычитании взаимно уничтожаются:
\[\sqrt{4b^3 - 4b^2} + \left(b^2 + b\right)\sqrt{\frac{b - 1}{b + 1}} - (b - 1)\sqrt{\frac{b^3 + b^2}{b - 1}} = 2b\sqrt{b - 1}.\]
3) При \(m > 0\) и \(n > 0\):
\[\left(2\sqrt{mn} + m\sqrt{n} - n\sqrt{m}\right) : \sqrt{mn} = 2 + \frac{m\sqrt{n}}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{n}} - \frac{n\sqrt{m}}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{n}} = 2 + \frac{m}{\sqrt{m}} - \frac{n}{\sqrt{n}} = 2 + \sqrt{m} - \sqrt{n}.\]
4) При \(m > 0\) и \(n > 0\): \(\sqrt{\frac{m^2}{n}} = \frac{|m|}{\sqrt{n}} = \frac{m}{\sqrt{n}}\) и \(\sqrt{\frac{n^2}{m}} = \frac{|n|}{\sqrt{m}} = \frac{n}{\sqrt{m}}\).
\[\begin{aligned} &\left(\frac{m}{\sqrt{n}} + 2\sqrt{mn} - \frac{n}{\sqrt{m}}\right) : \sqrt{mn} = \frac{m}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{mn}} + 2 - \frac{n}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{mn}} = {} \\ &= \frac{m}{n\sqrt{m}} + 2 - \frac{n}{m\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{m}}{n} + 2 - \frac{\sqrt{n}}{m}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(a - \sqrt{a - 2}\); 2) \(2b\sqrt{b - 1}\); 3) \(2 + \sqrt{m} - \sqrt{n}\); 4) \(\frac{\sqrt{m}}{n} + 2 - \frac{\sqrt{n}}{m}\).
Выполнить действия: 1) \(\sqrt{\frac{1}{a - 2}} + \sqrt{\frac{a^3 - 2a^2}{a - 2}} - \sqrt{\frac{1}{a - 2} + a}\); 2) \(\sqrt{4b^3 - 4b^2} + (b^2 + b)\sqrt{\frac{b - 1}{b + 1}} - (b - 1)\sqrt{\frac{b^3 + b^2}{b - 1}}\); 3) \(\left(2\sqrt{mn} + m\sqrt{n} - n\sqrt{m}\right) : \sqrt{mn}\); 4) \(\left(\sqrt{\frac{m^2}{n}} + 2\sqrt{mn} - \sqrt{\frac{n^2}{m}}\right) : \sqrt{mn}\).
1) Все три корня имеют смысл при \(a > 2\); при таких \(a\) числа \(a\) и \(a - 1\) положительны.
\(\frac{a^3 - 2a^2}{a - 2} = \frac{a^2(a - 2)}{a - 2} = a^2\), поэтому \(\sqrt{\frac{a^3 - 2a^2}{a - 2}} = \sqrt{a^2} = |a| = a\).
\(\frac{1}{a - 2} + a = \frac{1 + a(a - 2)}{a - 2} = \frac{(a - 1)^2}{a - 2}\), поэтому \(\sqrt{\frac{1}{a - 2} + a} = \frac{\sqrt{(a - 1)^2}}{\sqrt{a - 2}} = \frac{|a - 1|}{\sqrt{a - 2}} = \frac{a - 1}{\sqrt{a - 2}}\).
\[\begin{aligned} &\sqrt{\frac{1}{a - 2}} + \sqrt{\frac{a^3 - 2a^2}{a - 2}} - \sqrt{\frac{1}{a - 2} + a} = \frac{1}{\sqrt{a - 2}} + a - \frac{a - 1}{\sqrt{a - 2}} = {} \\ &= \frac{2 - a}{\sqrt{a - 2}} + a = -\frac{a - 2}{\sqrt{a - 2}} + a = a - \sqrt{a - 2}. \end{aligned}\]
2) Все три корня имеют смысл при \(b > 1\); при таких \(b\) число \(b\) положительно.
\(\sqrt{4b^3 - 4b^2} = \sqrt{4b^2(b - 1)} = \sqrt{\left(2b\right)^2} \cdot \sqrt{b - 1} = |2b|\sqrt{b - 1} = 2b\sqrt{b - 1}\).
\(\left(b^2 + b\right)\sqrt{\frac{b - 1}{b + 1}} = \frac{b(b + 1)\sqrt{b - 1}}{\sqrt{b + 1}} = b\sqrt{b + 1} \cdot \sqrt{b - 1} = b\sqrt{b^2 - 1}\).
\((b - 1)\sqrt{\frac{b^3 + b^2}{b - 1}} = (b - 1) \cdot \frac{\sqrt{b^2(b + 1)}}{\sqrt{b - 1}} = (b - 1) \cdot \frac{|b|\sqrt{b + 1}}{\sqrt{b - 1}} = \frac{(b - 1)b\sqrt{b + 1}}{\sqrt{b - 1}} = b\sqrt{b^2 - 1}\).
Второе и третье слагаемые равны, и при вычитании они взаимно уничтожаются.
\[\sqrt{4b^3 - 4b^2} + \left(b^2 + b\right)\sqrt{\frac{b - 1}{b + 1}} - (b - 1)\sqrt{\frac{b^3 + b^2}{b - 1}} = 2b\sqrt{b - 1}.\]
3) Выражение имеет смысл при \(m > 0\) и \(n > 0\).
\[\left(2\sqrt{mn} + m\sqrt{n} - n\sqrt{m}\right) : \sqrt{mn} = 2 + \frac{m\sqrt{n}}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{n}} - \frac{n\sqrt{m}}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{n}} = 2 + \frac{m}{\sqrt{m}} - \frac{n}{\sqrt{n}} = 2 + \sqrt{m} - \sqrt{n}.\]
4) Выражение имеет смысл при \(m > 0\) и \(n > 0\). Тогда \(\sqrt{\frac{m^2}{n}} = \frac{\sqrt{m^2}}{\sqrt{n}} = \frac{|m|}{\sqrt{n}} = \frac{m}{\sqrt{n}}\) и \(\sqrt{\frac{n^2}{m}} = \frac{\sqrt{n^2}}{\sqrt{m}} = \frac{|n|}{\sqrt{m}} = \frac{n}{\sqrt{m}}\).
\[\begin{aligned} &\left(\frac{m}{\sqrt{n}} + 2\sqrt{mn} - \frac{n}{\sqrt{m}}\right) : \sqrt{mn} = \frac{m}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{mn}} + 2 - \frac{n}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{mn}} = {} \\ &= \frac{m}{n\sqrt{m}} + 2 - \frac{n}{m\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{m}}{n} + 2 - \frac{\sqrt{n}}{m}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(a - \sqrt{a - 2}\); 2) \(2b\sqrt{b - 1}\); 3) \(2 + \sqrt{m} - \sqrt{n}\); 4) \(\frac{\sqrt{m}}{n} + 2 - \frac{\sqrt{n}}{m}\).
