Страница 51 номер 2.4.23, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Установить, при каких значениях \(x\) и \(y\) верно равенство (\(n \in N\)): 1) \(\sqrt{x^{2n}y} = x^n\sqrt{y}\); 2) \(\sqrt{xy^{2n}} = (-y)^n\sqrt{x}\); 3) \(\sqrt{\frac{x^{4n}}{y}} = x^{2n}\sqrt{y^{-1}}\); 4) \(\sqrt{\frac{x}{y^{6n}}} = y^{-3n}\sqrt{x}\).
1) Правая часть имеет смысл при \(y \geqslant 0\); тогда имеет смысл и левая, потому что \(x^{2n}y \geqslant 0\).
\(\sqrt{x^{2n}y} = \sqrt{\left(x^n\right)^2} \cdot \sqrt{y} = \left|x^n\right|\sqrt{y}\), поэтому нужно \(\left|x^n\right| = x^n\), то есть \(x^n \geqslant 0\). При нечётном \(n\) знак степени \(x^n\) совпадает со знаком \(x\), поэтому равенство верно при \(x \geqslant 0\) и \(y \geqslant 0\).
2) Правая часть имеет смысл при \(x \geqslant 0\); тогда имеет смысл и левая, потому что \(xy^{2n} \geqslant 0\).
\(\sqrt{xy^{2n}} = \sqrt{\left(y^n\right)^2} \cdot \sqrt{x} = \left|y^n\right|\sqrt{x}\), причём \(\left|y^n\right| = |y|^n\), поэтому нужно \((-y)^n = |y|^n\). При нечётном \(n\) это условие принимает вид \(-y = |y|\), а это и означает \(y \leqslant 0\): равенство верно при \(x \geqslant 0\) и \(y \leqslant 0\).
3) Правая часть имеет смысл при \(y^{-1} \geqslant 0\) и \(y \ne 0\), то есть при \(y > 0\); тогда имеет смысл и левая.
\(\sqrt{\frac{x^{4n}}{y}} = \frac{\sqrt{\left(x^{2n}\right)^2}}{\sqrt{y}} = \frac{\left|x^{2n}\right|}{\sqrt{y}} = \frac{x^{2n}}{\sqrt{y}}\), так как \(x^{2n} \geqslant 0\) при любом \(x\); правая часть \(x^{2n}\sqrt{\frac{1}{y}} = \frac{x^{2n}}{\sqrt{y}}\) — то же выражение. Условия на \(x\) не возникает: равенство верно при любом \(x\) и при \(y > 0\).
4) Левая часть имеет смысл при \(y \ne 0\) и \(x \geqslant 0\), так как \(y^{6n} > 0\).
\(\sqrt{\frac{x}{y^{6n}}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\left(y^{3n}\right)^2}} = \frac{\sqrt{x}}{\left|y^{3n}\right|}\), а правая часть равна \(\frac{\sqrt{x}}{y^{3n}}\), поэтому нужно \(\left|y^{3n}\right| = y^{3n}\), то есть \(y^{3n} > 0\). Показатель \(3n\) может быть нечётным, поэтому равенство верно при \(x \geqslant 0\) и \(y > 0\).
Ответ: 1) \(x \geqslant 0\), \(y \geqslant 0\); 2) \(x \geqslant 0\), \(y \leqslant 0\); 3) \(x\) — любое число, \(y > 0\); 4) \(x \geqslant 0\), \(y > 0\).
Установить, при каких значениях \(x\) и \(y\) верно равенство (\(n \in N\)): 1) \(\sqrt{x^{2n}y} = x^n\sqrt{y}\); 2) \(\sqrt{xy^{2n}} = (-y)^n\sqrt{x}\); 3) \(\sqrt{\frac{x^{4n}}{y}} = x^{2n}\sqrt{y^{-1}}\); 4) \(\sqrt{\frac{x}{y^{6n}}} = y^{-3n}\sqrt{x}\).
1) Правая часть имеет смысл при \(y \geqslant 0\); при таком \(y\) имеет смысл и левая часть, потому что \(x^{2n}y \geqslant 0\). Преобразуем левую часть: \(\sqrt{x^{2n}y} = \sqrt{\left(x^n\right)^2} \cdot \sqrt{y} = \left|x^n\right|\sqrt{y}\). Равенство \(\left|x^n\right|\sqrt{y} = x^n\sqrt{y}\) выполняется тогда, когда \(\left|x^n\right| = x^n\), то есть когда \(x^n \geqslant 0\). Показатель \(n\) может быть нечётным, и тогда знак степени \(x^n\) совпадает со знаком \(x\), поэтому нужно условие \(x \geqslant 0\). Равенство верно при \(x \geqslant 0\) и \(y \geqslant 0\).
2) Правая часть имеет смысл при \(x \geqslant 0\); при таком \(x\) имеет смысл и левая часть, потому что \(xy^{2n} \geqslant 0\). Преобразуем левую часть: \(\sqrt{xy^{2n}} = \sqrt{\left(y^n\right)^2} \cdot \sqrt{x} = \left|y^n\right|\sqrt{x}\), причём \(\left|y^n\right| = |y|^n\). Значит, равенство выполняется тогда, когда \((-y)^n = |y|^n\). Показатель \(n\) может быть нечётным, и тогда это условие принимает вид \(-y = |y|\), а это и означает \(y \leqslant 0\). Равенство верно при \(x \geqslant 0\) и \(y \leqslant 0\).
3) Правая часть имеет смысл при \(y^{-1} \geqslant 0\) и \(y \ne 0\), то есть при \(y > 0\); при таком \(y\) имеет смысл и левая часть. Преобразуем левую часть: \(\sqrt{\frac{x^{4n}}{y}} = \frac{\sqrt{\left(x^{2n}\right)^2}}{\sqrt{y}} = \frac{\left|x^{2n}\right|}{\sqrt{y}} = \frac{x^{2n}}{\sqrt{y}}\), так как показатель \(2n\) чётный и \(x^{2n} \geqslant 0\) при любом \(x\). Правая часть равна \(x^{2n}\sqrt{\frac{1}{y}} = \frac{x^{2n}}{\sqrt{y}}\) — то же самое выражение. Значит, никакого условия на \(x\) не возникает: равенство верно при любом \(x\) и при \(y > 0\).
4) Левая часть имеет смысл при \(y \ne 0\) и \(x \geqslant 0\), так как \(y^{6n} > 0\). Преобразуем левую часть: \(\sqrt{\frac{x}{y^{6n}}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\left(y^{3n}\right)^2}} = \frac{\sqrt{x}}{\left|y^{3n}\right|}\), а правая часть равна \(\frac{\sqrt{x}}{y^{3n}}\). Равенство выполняется тогда, когда \(\left|y^{3n}\right| = y^{3n}\), то есть когда \(y^{3n} > 0\). Показатель \(3n\) может быть нечётным, поэтому нужно условие \(y > 0\). Равенство верно при \(x \geqslant 0\) и \(y > 0\).
Ответ: 1) \(x \geqslant 0\), \(y \geqslant 0\); 2) \(x \geqslant 0\), \(y \leqslant 0\); 3) \(x\) — любое число, \(y > 0\); 4) \(x \geqslant 0\), \(y > 0\).
