Страница 51 номер 2.4.22, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Вынести множитель из-под знака корня, полагая \(n \in N\), \(a > 0\), \(b > 0\); 1) \(\sqrt{a^{2n}b}\); 2) \(\sqrt{ab^{2n+1}}\); 3) \(\sqrt{a^{2n-1}}\); 4) \(\sqrt{b^{4n-1}}\).
Так как \(a > 0\) и \(b > 0\), все степени этих букв положительны, и модуль снимается сразу.
1) \(\sqrt{a^{2n}b} = \sqrt{a^{2n}} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{\left(a^n\right)^2} \cdot \sqrt{b} = \left|a^n\right|\sqrt{b} = a^n\sqrt{b}\);
2) \(\sqrt{ab^{2n+1}} = \sqrt{b^{2n} \cdot ab} = \sqrt{\left(b^n\right)^2} \cdot \sqrt{ab} = \left|b^n\right|\sqrt{ab} = b^n\sqrt{ab}\);
3) \(\sqrt{a^{2n-1}} = \sqrt{a^{2n-2} \cdot a} = \sqrt{\left(a^{n-1}\right)^2} \cdot \sqrt{a} = \left|a^{n-1}\right|\sqrt{a} = a^{n-1}\sqrt{a}\);
4) \(\sqrt{b^{4n-1}} = \sqrt{b^{4n-2} \cdot b} = \sqrt{\left(b^{2n-1}\right)^2} \cdot \sqrt{b} = \left|b^{2n-1}\right|\sqrt{b} = b^{2n-1}\sqrt{b}\).
Тот же результат в другом виде, с вынесенным множителем \(b^{2n}\): \(\sqrt{b^{4n-1}} = \sqrt{\frac{b^{4n}}{b}} = \frac{\sqrt{\left(b^{2n}\right)^2}}{\sqrt{b}} = \frac{b^{2n}}{\sqrt{b}} = b^{2n}\sqrt{\frac{1}{b}}\).
Ответ: 1) \(a^n\sqrt{b}\); 2) \(b^n\sqrt{ab}\); 3) \(a^{n-1}\sqrt{a}\); 4) \(b^{2n-1}\sqrt{b}\), или \(b^{2n}\sqrt{\frac{1}{b}}\).
Вынести множитель из-под знака корня, полагая \(n \in N\), \(a > 0\), \(b > 0\); 1) \(\sqrt{a^{2n}b}\); 2) \(\sqrt{ab^{2n+1}}\); 3) \(\sqrt{a^{2n-1}}\); 4) \(\sqrt{b^{4n-1}}\).
Чтобы вынести множитель из-под знака корня, подкоренное выражение представляют произведением, один из множителей которого — степень с чётным показателем. Так как \(a > 0\) и \(b > 0\), все степени этих букв положительны, и модуль снимается сразу.
1) \(\sqrt{a^{2n}b} = \sqrt{a^{2n}} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{\left(a^n\right)^2} \cdot \sqrt{b} = \left|a^n\right|\sqrt{b} = a^n\sqrt{b}\);
2) \(\sqrt{ab^{2n+1}} = \sqrt{b^{2n} \cdot ab} = \sqrt{\left(b^n\right)^2} \cdot \sqrt{ab} = \left|b^n\right|\sqrt{ab} = b^n\sqrt{ab}\);
3) \(\sqrt{a^{2n-1}} = \sqrt{a^{2n-2} \cdot a} = \sqrt{\left(a^{n-1}\right)^2} \cdot \sqrt{a} = \left|a^{n-1}\right|\sqrt{a} = a^{n-1}\sqrt{a}\);
4) \(\sqrt{b^{4n-1}} = \sqrt{b^{4n-2} \cdot b} = \sqrt{\left(b^{2n-1}\right)^2} \cdot \sqrt{b} = \left|b^{2n-1}\right|\sqrt{b} = b^{2n-1}\sqrt{b}\).
Тот же результат записывают и в виде \(b^{2n}\sqrt{\frac{1}{b}}\), если вынести множитель \(b^{2n}\): \(\sqrt{b^{4n-1}} = \sqrt{\frac{b^{4n}}{b}} = \frac{\sqrt{\left(b^{2n}\right)^2}}{\sqrt{b}} = \frac{b^{2n}}{\sqrt{b}} = b^{2n}\sqrt{\frac{1}{b}}\).
Ответ: 1) \(a^n\sqrt{b}\); 2) \(b^n\sqrt{ab}\); 3) \(a^{n-1}\sqrt{a}\); 4) \(b^{2n-1}\sqrt{b}\), или \(b^{2n}\sqrt{\frac{1}{b}}\).
