7класс

Страницы 50-51 номер 2.4.21, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

§2. Алгебраические выражения. 2.4. Корни. Страницы 50-51. Номер 2.4.21

Задание / условие:

Извлечь корень: 1) \(\sqrt{a^{-2}}\); 2) \(\sqrt{a^{-6}}\); 3) \(\sqrt{\frac{49m^{-4}}{25n^{-2}}}\); 4) \(\sqrt{\frac{36m^{-6}}{121n^{-8}}}\); 5) \(\sqrt{16a^{-8}b^{-4}c^{-2}}\); 6) \(\sqrt{0{,}0004a^6 b^{-6} c^{-12}}\); 7) \(\sqrt{0{,}01x^{2n}}\), где \(n \in N\); 8) \(\sqrt{0{,}09y^{-2n}}\), где \(n \in N\).

Решение:

1) При \(a \ne 0\): \(\sqrt{a^{-2}} = \sqrt{\left(a^{-1}\right)^2} = \left|a^{-1}\right| = \frac{1}{|a|}\);
2) \(\sqrt{a^{-6}} = \sqrt{\left(a^{-3}\right)^2} = \left|a^{-3}\right|\), то есть \(\frac{1}{\left|a^3\right|}\);
3) \(\sqrt{\frac{49m^{-4}}{25n^{-2}}} = \sqrt{\frac{49n^2}{25m^4}} = \sqrt{\left(\frac{7n}{5m^2}\right)^2} = \left|\frac{7n}{5m^2}\right| = \frac{7|n|}{5m^2}\) — множитель \(m^2\) положителен;
4) \(\sqrt{\frac{36m^{-6}}{121n^{-8}}} = \sqrt{\frac{36n^8}{121m^6}} = \sqrt{\left(\frac{6n^4}{11m^3}\right)^2} = \left|\frac{6n^4}{11m^3}\right| = \frac{6n^4}{11\left|m^3\right|}\) — числитель \(6n^4\) неотрицателен при любом \(n\);
5) \(\sqrt{16a^{-8}b^{-4}c^{-2}} = \sqrt{\left(4a^{-4}b^{-2}c^{-1}\right)^2} = \left|4a^{-4}b^{-2}c^{-1}\right| = \frac{4}{a^4 b^2 |c|}\) — степени \(a^{-4}\) и \(b^{-2}\) положительны;
6) \(\sqrt{0{,}0004a^6 b^{-6} c^{-12}} = \sqrt{\left(0{,}02a^3 b^{-3} c^{-6}\right)^2} = \left|0{,}02a^3 b^{-3} c^{-6}\right| = \frac{0{,}02\left|a^3\right|}{\left|b^3\right| c^6}\) — степень \(c^{-6}\) положительна;
7) \(\sqrt{0{,}01x^{2n}} = \sqrt{\left(0{,}1x^n\right)^2} = \left|0{,}1x^n\right| = 0{,}1\left|x^n\right|\);
8) \(\sqrt{0{,}09y^{-2n}} = \sqrt{\left(0{,}3y^{-n}\right)^2} = \left|0{,}3y^{-n}\right| = \frac{0{,}3}{\left|y^n\right|}\).

При нечётном \(n\) знак степени \(x^n\) совпадает со знаком \(x\), поэтому в пунктах 7) и 8) модуль сохраняется.

Ответ: 1) \(\left|a^{-1}\right|\); 2) \(\left|a^{-3}\right|\); 3) \(\frac{7|n|}{5m^2}\); 4) \(\frac{6n^4}{11\left|m^3\right|}\); 5) \(\frac{4}{a^4 b^2 |c|}\); 6) \(\frac{0{,}02\left|a^3\right|}{\left|b^3\right| c^6}\); 7) \(0{,}1\left|x^n\right|\); 8) \(\frac{0{,}3}{\left|y^n\right|}\).

Задание / условие:

Решение:

Корень из степени с чётным показателем извлекают через модуль: подкоренное выражение представляют квадратом и пользуются тождеством \(\sqrt{c^2} = |c|\), верным при любом \(c\).

1) Выражение имеет смысл при \(a \ne 0\): \(\sqrt{a^{-2}} = \sqrt{\left(a^{-1}\right)^2} = \left|a^{-1}\right| = \frac{1}{|a|}\);
2) \(\sqrt{a^{-6}} = \sqrt{\left(a^{-3}\right)^2} = \left|a^{-3}\right|\), то есть \(\frac{1}{\left|a^3\right|}\);
3) \(\sqrt{\frac{49m^{-4}}{25n^{-2}}} = \sqrt{\frac{49n^2}{25m^4}} = \sqrt{\left(\frac{7n}{5m^2}\right)^2} = \left|\frac{7n}{5m^2}\right| = \frac{7|n|}{5m^2}\) — множитель \(m^2\) положителен, и модуль с него снимается;
4) \(\sqrt{\frac{36m^{-6}}{121n^{-8}}} = \sqrt{\frac{36n^8}{121m^6}} = \sqrt{\left(\frac{6n^4}{11m^3}\right)^2} = \left|\frac{6n^4}{11m^3}\right| = \frac{6n^4}{11\left|m^3\right|}\) — числитель \(6n^4\) неотрицателен при любом \(n\);
5) \(\sqrt{16a^{-8}b^{-4}c^{-2}} = \sqrt{\left(4a^{-4}b^{-2}c^{-1}\right)^2} = \left|4a^{-4}b^{-2}c^{-1}\right| = \frac{4}{a^4 b^2 |c|}\) — степени \(a^{-4}\) и \(b^{-2}\) положительны;
6) \(\sqrt{0{,}0004a^6 b^{-6} c^{-12}} = \sqrt{\left(0{,}02a^3 b^{-3} c^{-6}\right)^2} = \left|0{,}02a^3 b^{-3} c^{-6}\right| = \frac{0{,}02\left|a^3\right|}{\left|b^3\right| c^6}\) — степень \(c^{-6}\) положительна;
7) \(\sqrt{0{,}01x^{2n}} = \sqrt{\left(0{,}1x^n\right)^2} = \left|0{,}1x^n\right| = 0{,}1\left|x^n\right|\);
8) \(\sqrt{0{,}09y^{-2n}} = \sqrt{\left(0{,}3y^{-n}\right)^2} = \left|0{,}3y^{-n}\right| = \frac{0{,}3}{\left|y^n\right|}\).