Страница 50 номер 2.4.19, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Внести множитель под знак корня, если \(a > b > 0\): 1) \(5a^2\sqrt{3ab^2}\); 2) \(2ab^2\sqrt{ab}\); 3) \(\frac{a}{3b}\sqrt{\frac{b}{a}}\); 4) \(\frac{2a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}\); 5) \((a - b)\sqrt{\frac{1}{a^2 - b^2}}\); 6) \((a + b)\sqrt{\frac{1}{a^2 - b^2}}\); 7) \(\frac{1}{a - b}\sqrt{3a^2 - 6ab + 3b^2}\); 8) \(\frac{1}{1 + a}\sqrt{\frac{1}{a} + a + 2}\).
При \(a > b > 0\) множитель перед корнем положителен, поэтому записываем его корнем из его квадрата.
1) \(5a^2 \sqrt{3ab^2} = \sqrt{\left(5a^2\right)^2} \cdot \sqrt{3ab^2} = \sqrt{25a^4 \cdot 3ab^2} = \sqrt{75a^5 b^2}\);
2) \(2ab^2 \sqrt{ab} = \sqrt{\left(2ab^2\right)^2} \cdot \sqrt{ab} = \sqrt{4a^2 b^4 \cdot ab} = \sqrt{4a^3 b^5}\);
3) \(\frac{a}{3b} \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{a^2}{9b^2}} \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{a^2 b}{9b^2 a}} = \sqrt{\frac{a}{9b}}\);
4) \(\frac{2a}{b} \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{4a^2}{b^2}} \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{4a^2 b}{b^2 a}} = \sqrt{\frac{4a}{b}}\);
5) \((a - b)\sqrt{\frac{1}{a^2 - b^2}} = \sqrt{(a - b)^2} \cdot \sqrt{\frac{1}{a^2 - b^2}} = \sqrt{\frac{(a - b)^2}{(a - b)(a + b)}} = \sqrt{\frac{a - b}{a + b}}\);
6) \((a + b)\sqrt{\frac{1}{a^2 - b^2}} = \sqrt{(a + b)^2} \cdot \sqrt{\frac{1}{a^2 - b^2}} = \sqrt{\frac{(a + b)^2}{(a - b)(a + b)}} = \sqrt{\frac{a + b}{a - b}}\);
7) \(\frac{1}{a - b} \sqrt{3a^2 - 6ab + 3b^2} = \sqrt{\frac{1}{(a - b)^2}} \cdot \sqrt{3(a - b)^2} = \sqrt{\frac{3(a - b)^2}{(a - b)^2}} = \sqrt{3}\) — здесь \(3a^2 - 6ab + 3b^2 = 3\left(a^2 - 2ab + b^2\right) = 3(a - b)^2\);
8) \(\frac{1}{1 + a} \sqrt{\frac{1}{a} + a + 2} = \sqrt{\frac{1}{(1 + a)^2}} \cdot \sqrt{\frac{(1 + a)^2}{a}} = \sqrt{\frac{(1 + a)^2}{a(1 + a)^2}} = \sqrt{\frac{1}{a}}\) — здесь \(\frac{1}{a} + a + 2 = \frac{1 + a^2 + 2a}{a} = \frac{(1 + a)^2}{a}\).
Ответ: 1) \(\sqrt{75a^5 b^2}\); 2) \(\sqrt{4a^3 b^5}\); 3) \(\sqrt{\frac{a}{9b}}\); 4) \(\sqrt{\frac{4a}{b}}\); 5) \(\sqrt{\frac{a - b}{a + b}}\); 6) \(\sqrt{\frac{a + b}{a - b}}\); 7) \(\sqrt{3}\); 8) \(\sqrt{\frac{1}{a}}\).
Внести множитель под знак корня, если \(a > b > 0\): 1) \(5a^2\sqrt{3ab^2}\); 2) \(2ab^2\sqrt{ab}\); 3) \(\frac{a}{3b}\sqrt{\frac{b}{a}}\); 4) \(\frac{2a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}\); 5) \((a - b)\sqrt{\frac{1}{a^2 - b^2}}\); 6) \((a + b)\sqrt{\frac{1}{a^2 - b^2}}\); 7) \(\frac{1}{a - b}\sqrt{3a^2 - 6ab + 3b^2}\); 8) \(\frac{1}{1 + a}\sqrt{\frac{1}{a} + a + 2}\).
При \(a > b > 0\) каждый множитель, стоящий перед корнем, положителен, поэтому его можно записать арифметическим квадратным корнем из его квадрата и внести под знак корня.
1) \(5a^2 \sqrt{3ab^2} = \sqrt{\left(5a^2\right)^2} \cdot \sqrt{3ab^2} = \sqrt{25a^4 \cdot 3ab^2} = \sqrt{75a^5 b^2}\);
2) \(2ab^2 \sqrt{ab} = \sqrt{\left(2ab^2\right)^2} \cdot \sqrt{ab} = \sqrt{4a^2 b^4 \cdot ab} = \sqrt{4a^3 b^5}\);
3) \(\frac{a}{3b} \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{a^2}{9b^2}} \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{a^2 b}{9b^2 a}} = \sqrt{\frac{a}{9b}}\);
4) \(\frac{2a}{b} \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{4a^2}{b^2}} \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{4a^2 b}{b^2 a}} = \sqrt{\frac{4a}{b}}\);
5) \((a - b)\sqrt{\frac{1}{a^2 - b^2}} = \sqrt{(a - b)^2} \cdot \sqrt{\frac{1}{a^2 - b^2}} = \sqrt{\frac{(a - b)^2}{(a - b)(a + b)}} = \sqrt{\frac{a - b}{a + b}}\);
6) \((a + b)\sqrt{\frac{1}{a^2 - b^2}} = \sqrt{(a + b)^2} \cdot \sqrt{\frac{1}{a^2 - b^2}} = \sqrt{\frac{(a + b)^2}{(a - b)(a + b)}} = \sqrt{\frac{a + b}{a - b}}\);
7) \(\frac{1}{a - b} \sqrt{3a^2 - 6ab + 3b^2} = \sqrt{\frac{1}{(a - b)^2}} \cdot \sqrt{3(a - b)^2} = \sqrt{\frac{3(a - b)^2}{(a - b)^2}} = \sqrt{3}\) — здесь \(3a^2 - 6ab + 3b^2 = 3\left(a^2 - 2ab + b^2\right) = 3(a - b)^2\);
8) \(\frac{1}{1 + a} \sqrt{\frac{1}{a} + a + 2} = \sqrt{\frac{1}{(1 + a)^2}} \cdot \sqrt{\frac{(1 + a)^2}{a}} = \sqrt{\frac{(1 + a)^2}{a(1 + a)^2}} = \sqrt{\frac{1}{a}}\) — здесь \(\frac{1}{a} + a + 2 = \frac{1 + a^2 + 2a}{a} = \frac{(1 + a)^2}{a}\).
Ответ: 1) \(\sqrt{75a^5 b^2}\); 2) \(\sqrt{4a^3 b^5}\); 3) \(\sqrt{\frac{a}{9b}}\); 4) \(\sqrt{\frac{4a}{b}}\); 5) \(\sqrt{\frac{a - b}{a + b}}\); 6) \(\sqrt{\frac{a + b}{a - b}}\); 7) \(\sqrt{3}\); 8) \(\sqrt{\frac{1}{a}}\).
