Страница 50 номер 2.4.18, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Вынести множитель из-под знака корня, если буквами обозначены положительные числа: 1) \(\sqrt{a^2 b^6}\); 2) \(\sqrt{a^4 b^{10}}\); 3) \(\sqrt{a^5 b^9}\); 4) \(\sqrt{a^7 b^5}\); 5) \(\sqrt{12a^6 b^5}\); 6) \(\sqrt{18a^7 b^4}\); 7) \(\sqrt{\frac{49m^5}{n^6}}\); 8) \(\sqrt{\frac{n^{10}}{25m^{11}}}\); 9) \(\sqrt{(2 + a)^3}\); 10) \(\sqrt{(x + 1)^5}\).
Все буквы обозначают положительные числа, поэтому каждый модуль равен выражению под ним; положительны и суммы \(2 + a\), \(x + 1\).
1) \(\sqrt{a^2 b^6} = \sqrt{a^2 \cdot \left(b^3\right)^2} = |a| \cdot \left|b^3\right| = ab^3\);
2) \(\sqrt{a^4 b^{10}} = \sqrt{\left(a^2\right)^2 \cdot \left(b^5\right)^2} = \left|a^2\right| \cdot \left|b^5\right| = a^2 b^5\);
3) \(\sqrt{a^5 b^9} = \sqrt{\left(a^2\right)^2 \left(b^4\right)^2 \cdot ab} = \left|a^2\right| \cdot \left|b^4\right| \sqrt{ab} = a^2 b^4 \sqrt{ab}\);
4) \(\sqrt{a^7 b^5} = \sqrt{\left(a^3\right)^2 \left(b^2\right)^2 \cdot ab} = \left|a^3\right| \cdot \left|b^2\right| \sqrt{ab} = a^3 b^2 \sqrt{ab}\);
5) \(\sqrt{12a^6 b^5} = \sqrt{2^2 \left(a^3\right)^2 \left(b^2\right)^2 \cdot 3b} = 2\left|a^3\right| \cdot \left|b^2\right| \sqrt{3b} = 2a^3 b^2 \sqrt{3b}\);
6) \(\sqrt{18a^7 b^4} = \sqrt{3^2 \left(a^3\right)^2 \left(b^2\right)^2 \cdot 2a} = 3\left|a^3\right| \cdot \left|b^2\right| \sqrt{2a} = 3a^3 b^2 \sqrt{2a}\);
7) \(\sqrt{\frac{49m^5}{n^6}} = \frac{\sqrt{7^2 \left(m^2\right)^2 \cdot m}}{\sqrt{\left(n^3\right)^2}} = \frac{7\left|m^2\right| \sqrt{m}}{\left|n^3\right|} = \frac{7m^2 \sqrt{m}}{n^3}\);
8) \(\sqrt{\frac{n^{10}}{25m^{11}}} = \frac{\sqrt{\left(n^5\right)^2}}{\sqrt{5^2 \left(m^5\right)^2 \cdot m}} = \frac{\left|n^5\right|}{5\left|m^5\right| \sqrt{m}} = \frac{n^5}{5m^5 \sqrt{m}} = \frac{n^5 \sqrt{m}}{5m^6}\) — в последнем переходе числитель и знаменатель умножены на \(\sqrt{m}\);
9) \(\sqrt{(2 + a)^3} = \sqrt{(2 + a)^2 \cdot (2 + a)} = |2 + a| \sqrt{2 + a} = (2 + a)\sqrt{2 + a}\);
10) \(\sqrt{(x + 1)^5} = \sqrt{\left((x + 1)^2\right)^2 \cdot (x + 1)} = \left|(x + 1)^2\right| \sqrt{x + 1} = (x + 1)^2 \sqrt{x + 1}\).
Ответ: 1) \(ab^3\); 2) \(a^2 b^5\); 3) \(a^2 b^4 \sqrt{ab}\); 4) \(a^3 b^2 \sqrt{ab}\); 5) \(2a^3 b^2 \sqrt{3b}\); 6) \(3a^3 b^2 \sqrt{2a}\); 7) \(\frac{7m^2 \sqrt{m}}{n^3}\); 8) \(\frac{n^5 \sqrt{m}}{5m^6}\); 9) \((2 + a)\sqrt{2 + a}\); 10) \((x + 1)^2 \sqrt{x + 1}\).
Вынести множитель из-под знака корня, если буквами обозначены положительные числа: 1) \(\sqrt{a^2 b^6}\); 2) \(\sqrt{a^4 b^{10}}\); 3) \(\sqrt{a^5 b^9}\); 4) \(\sqrt{a^7 b^5}\); 5) \(\sqrt{12a^6 b^5}\); 6) \(\sqrt{18a^7 b^4}\); 7) \(\sqrt{\frac{49m^5}{n^6}}\); 8) \(\sqrt{\frac{n^{10}}{25m^{11}}}\); 9) \(\sqrt{(2 + a)^3}\); 10) \(\sqrt{(x + 1)^5}\).
Чтобы вынести множитель из-под знака корня, в подкоренном выражении выделяют степень с чётным показателем, представляют её квадратом и пользуются тождеством \(\sqrt{t^2} = \left|t\right|\). Все буквы обозначают положительные числа, поэтому каждый такой модуль равен самому выражению под ним; положительны и суммы \(2 + a\), \(x + 1\).
1) \(\sqrt{a^2 b^6} = \sqrt{a^2 \cdot \left(b^3\right)^2} = |a| \cdot \left|b^3\right| = ab^3\);
2) \(\sqrt{a^4 b^{10}} = \sqrt{\left(a^2\right)^2 \cdot \left(b^5\right)^2} = \left|a^2\right| \cdot \left|b^5\right| = a^2 b^5\);
3) \(\sqrt{a^5 b^9} = \sqrt{\left(a^2\right)^2 \left(b^4\right)^2 \cdot ab} = \left|a^2\right| \cdot \left|b^4\right| \sqrt{ab} = a^2 b^4 \sqrt{ab}\);
4) \(\sqrt{a^7 b^5} = \sqrt{\left(a^3\right)^2 \left(b^2\right)^2 \cdot ab} = \left|a^3\right| \cdot \left|b^2\right| \sqrt{ab} = a^3 b^2 \sqrt{ab}\);
5) \(\sqrt{12a^6 b^5} = \sqrt{2^2 \left(a^3\right)^2 \left(b^2\right)^2 \cdot 3b} = 2\left|a^3\right| \cdot \left|b^2\right| \sqrt{3b} = 2a^3 b^2 \sqrt{3b}\);
6) \(\sqrt{18a^7 b^4} = \sqrt{3^2 \left(a^3\right)^2 \left(b^2\right)^2 \cdot 2a} = 3\left|a^3\right| \cdot \left|b^2\right| \sqrt{2a} = 3a^3 b^2 \sqrt{2a}\);
7) \(\sqrt{\frac{49m^5}{n^6}} = \frac{\sqrt{7^2 \left(m^2\right)^2 \cdot m}}{\sqrt{\left(n^3\right)^2}} = \frac{7\left|m^2\right| \sqrt{m}}{\left|n^3\right|} = \frac{7m^2 \sqrt{m}}{n^3}\);
8) \(\sqrt{\frac{n^{10}}{25m^{11}}} = \frac{\sqrt{\left(n^5\right)^2}}{\sqrt{5^2 \left(m^5\right)^2 \cdot m}} = \frac{\left|n^5\right|}{5\left|m^5\right| \sqrt{m}} = \frac{n^5}{5m^5 \sqrt{m}} = \frac{n^5 \sqrt{m}}{5m^6}\) — в последнем переходе числитель и знаменатель умножены на \(\sqrt{m}\);
9) \(\sqrt{(2 + a)^3} = \sqrt{(2 + a)^2 \cdot (2 + a)} = |2 + a| \sqrt{2 + a} = (2 + a)\sqrt{2 + a}\);
10) \(\sqrt{(x + 1)^5} = \sqrt{\left((x + 1)^2\right)^2 \cdot (x + 1)} = \left|(x + 1)^2\right| \sqrt{x + 1} = (x + 1)^2 \sqrt{x + 1}\).
Ответ: 1) \(ab^3\); 2) \(a^2 b^5\); 3) \(a^2 b^4 \sqrt{ab}\); 4) \(a^3 b^2 \sqrt{ab}\); 5) \(2a^3 b^2 \sqrt{3b}\); 6) \(3a^3 b^2 \sqrt{2a}\); 7) \(\frac{7m^2 \sqrt{m}}{n^3}\); 8) \(\frac{n^5 \sqrt{m}}{5m^6}\); 9) \((2 + a)\sqrt{2 + a}\); 10) \((x + 1)^2 \sqrt{x + 1}\).
