Страница 50 номер 2.4.17, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Упростить: 1) \(\frac{3\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x}\); 2) \(\frac{2 - \sqrt{y}}{y} + \frac{\sqrt{y} + 1}{\sqrt{y}}\); 3) \((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + 2\sqrt{ab}\); 4) \((2\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - 4\sqrt{ab}\).
1) \(\frac{3\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x} = \frac{\left(3\sqrt{x} - 1\right)\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x} = \frac{3x - \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1}{x} = \frac{3x + 1}{x}\);
2) \(\frac{2 - \sqrt{y}}{y} + \frac{\sqrt{y} + 1}{\sqrt{y}} = \frac{2 - \sqrt{y}}{y} + \frac{\left(\sqrt{y} + 1\right)\sqrt{y}}{y} = \frac{2 - \sqrt{y} + y + \sqrt{y}}{y} = \frac{2 + y}{y}\);
3) \(\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2 + 2\sqrt{ab} = a - 2\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b + 2\sqrt{ab} = a - 2\sqrt{ab} + b + 2\sqrt{ab} = a + b\);
4) \(\left(2\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 - 4\sqrt{ab} = 4a + 2 \cdot 2\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b - 4\sqrt{ab} = 4a + 4\sqrt{ab} + b - 4\sqrt{ab} = 4a + b\).
Ответ: 1) \(\frac{3x + 1}{x}\); 2) \(\frac{2 + y}{y}\); 3) \(a + b\); 4) \(4a + b\).
Упростить: 1) \(\frac{3\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x}\); 2) \(\frac{2 - \sqrt{y}}{y} + \frac{\sqrt{y} + 1}{\sqrt{y}}\); 3) \((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + 2\sqrt{ab}\); 4) \((2\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - 4\sqrt{ab}\).
В пунктах 1) и 2) общий знаменатель равен \(x\) (соответственно \(y\)), так как \(x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\): дополнительный множитель дроби со знаменателем \(\sqrt{x}\) равен \(\sqrt{x}\). В пунктах 3) и 4) произведение корней заменяем корнем из произведения: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\).
1) \(\frac{3\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x} = \frac{\left(3\sqrt{x} - 1\right)\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x} = \frac{3x - \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1}{x} = \frac{3x + 1}{x}\);
2) \(\frac{2 - \sqrt{y}}{y} + \frac{\sqrt{y} + 1}{\sqrt{y}} = \frac{2 - \sqrt{y}}{y} + \frac{\left(\sqrt{y} + 1\right)\sqrt{y}}{y} = \frac{2 - \sqrt{y} + y + \sqrt{y}}{y} = \frac{2 + y}{y}\);
3) \(\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2 + 2\sqrt{ab} = a - 2\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b + 2\sqrt{ab} = a - 2\sqrt{ab} + b + 2\sqrt{ab} = a + b\);
4) \(\left(2\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 - 4\sqrt{ab} = 4a + 2 \cdot 2\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b - 4\sqrt{ab} = 4a + 4\sqrt{ab} + b - 4\sqrt{ab} = 4a + b\).
Ответ: 1) \(\frac{3x + 1}{x}\); 2) \(\frac{2 + y}{y}\); 3) \(a + b\); 4) \(4a + b\).
