Страницы 49-50 номер 2.4.16, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: 1) \(\frac{3}{\sqrt{x}}\); 2) \(\frac{4}{\sqrt{y}}\); 3) \(\frac{2}{\sqrt{a + 1}}\); 4) \(\frac{7}{\sqrt{b - 2}}\); 5) \(\frac{a}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\); 6) \(\frac{b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}\); 7) \(\frac{3c}{\sqrt{c} - 2}\); 8) \(\frac{2d}{3 + \sqrt{d}}\).
1) \(\frac{3}{\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x}}{x}\);
2) \(\frac{4}{\sqrt{y}} = \frac{4\sqrt{y}}{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{4\sqrt{y}}{y}\);
3) \(\frac{2}{\sqrt{a + 1}} = \frac{2\sqrt{a + 1}}{\sqrt{a + 1} \cdot \sqrt{a + 1}} = \frac{2\sqrt{a + 1}}{a + 1}\);
4) \(\frac{7}{\sqrt{b - 2}} = \frac{7\sqrt{b - 2}}{\sqrt{b - 2} \cdot \sqrt{b - 2}} = \frac{7\sqrt{b - 2}}{b - 2}\);
5) \(\frac{a}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{a\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)} = \frac{a\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)}{a - b}\);
6) \(\frac{b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \frac{b\left(\sqrt{b} - \sqrt{a}\right)}{\left(\sqrt{b} + \sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b} - \sqrt{a}\right)} = \frac{b\left(\sqrt{b} - \sqrt{a}\right)}{b - a}\);
7) \(\frac{3c}{\sqrt{c} - 2} = \frac{3c\left(\sqrt{c} + 2\right)}{\left(\sqrt{c} - 2\right)\left(\sqrt{c} + 2\right)} = \frac{3c\left(\sqrt{c} + 2\right)}{c - 4}\);
8) \(\frac{2d}{3 + \sqrt{d}} = \frac{2d\left(3 - \sqrt{d}\right)}{\left(3 + \sqrt{d}\right)\left(3 - \sqrt{d}\right)} = \frac{2d\left(3 - \sqrt{d}\right)}{9 - d}\).
Ответ: 1) \(\frac{3\sqrt{x}}{x}\); 2) \(\frac{4\sqrt{y}}{y}\); 3) \(\frac{2\sqrt{a + 1}}{a + 1}\); 4) \(\frac{7\sqrt{b - 2}}{b - 2}\); 5) \(\frac{a\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)}{a - b}\); 6) \(\frac{b\left(\sqrt{b} - \sqrt{a}\right)}{b - a}\); 7) \(\frac{3c\left(\sqrt{c} + 2\right)}{c - 4}\); 8) \(\frac{2d\left(3 - \sqrt{d}\right)}{9 - d}\).
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: 1) \(\frac{3}{\sqrt{x}}\); 2) \(\frac{4}{\sqrt{y}}\); 3) \(\frac{2}{\sqrt{a + 1}}\); 4) \(\frac{7}{\sqrt{b - 2}}\); 5) \(\frac{a}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\); 6) \(\frac{b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}\); 7) \(\frac{3c}{\sqrt{c} - 2}\); 8) \(\frac{2d}{3 + \sqrt{d}}\).
В пунктах 1)—4) числитель и знаменатель дроби умножаем на тот самый корень, который стоит в знаменателе: произведение двух одинаковых корней даёт подкоренное выражение. В пунктах 5)—8) умножаем на выражение, которое отличается от знаменателя только знаком между слагаемыми, — в знаменателе получается разность квадратов, и знак корня исчезает.
1) \(\frac{3}{\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x}}{x}\);
2) \(\frac{4}{\sqrt{y}} = \frac{4\sqrt{y}}{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{4\sqrt{y}}{y}\);
3) \(\frac{2}{\sqrt{a + 1}} = \frac{2\sqrt{a + 1}}{\sqrt{a + 1} \cdot \sqrt{a + 1}} = \frac{2\sqrt{a + 1}}{a + 1}\);
4) \(\frac{7}{\sqrt{b - 2}} = \frac{7\sqrt{b - 2}}{\sqrt{b - 2} \cdot \sqrt{b - 2}} = \frac{7\sqrt{b - 2}}{b - 2}\);
5) \(\frac{a}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{a\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)} = \frac{a\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)}{a - b}\);
6) \(\frac{b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \frac{b\left(\sqrt{b} - \sqrt{a}\right)}{\left(\sqrt{b} + \sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b} - \sqrt{a}\right)} = \frac{b\left(\sqrt{b} - \sqrt{a}\right)}{b - a}\);
7) \(\frac{3c}{\sqrt{c} - 2} = \frac{3c\left(\sqrt{c} + 2\right)}{\left(\sqrt{c} - 2\right)\left(\sqrt{c} + 2\right)} = \frac{3c\left(\sqrt{c} + 2\right)}{c - 4}\);
8) \(\frac{2d}{3 + \sqrt{d}} = \frac{2d\left(3 - \sqrt{d}\right)}{\left(3 + \sqrt{d}\right)\left(3 - \sqrt{d}\right)} = \frac{2d\left(3 - \sqrt{d}\right)}{9 - d}\).
Ответ: 1) \(\frac{3\sqrt{x}}{x}\); 2) \(\frac{4\sqrt{y}}{y}\); 3) \(\frac{2\sqrt{a + 1}}{a + 1}\); 4) \(\frac{7\sqrt{b - 2}}{b - 2}\); 5) \(\frac{a\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)}{a - b}\); 6) \(\frac{b\left(\sqrt{b} - \sqrt{a}\right)}{b - a}\); 7) \(\frac{3c\left(\sqrt{c} + 2\right)}{c - 4}\); 8) \(\frac{2d\left(3 - \sqrt{d}\right)}{9 - d}\).
