Страница 49 номер 2.4.15, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Сократить дробь: 1) \(\frac{a^2 - 5}{\sqrt{5} + a}\); 2) \(\frac{\sqrt{3} - b}{b^2 - 3}\); 3) \(\frac{2\sqrt{3} + x}{12 - x^2}\); 4) \(\frac{y^2 - 18}{y - 3\sqrt{2}}\); 5) \(\frac{\sqrt{x} + x}{2 + 2\sqrt{x}}\); 6) \(\frac{3 - 3\sqrt{y}}{\sqrt{y} - y}\).
1) \(\frac{a^2 - 5}{\sqrt{5} + a} = \frac{a^2 - \left(\sqrt{5}\right)^2}{a + \sqrt{5}} = \frac{\left(a - \sqrt{5}\right)\left(a + \sqrt{5}\right)}{a + \sqrt{5}} = a - \sqrt{5}\);
2) \(\frac{\sqrt{3} - b}{b^2 - 3} = \frac{-\left(b - \sqrt{3}\right)}{b^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2} = \frac{-\left(b - \sqrt{3}\right)}{\left(b - \sqrt{3}\right)\left(b + \sqrt{3}\right)} = -\frac{1}{b + \sqrt{3}}\);
3) \(\frac{2\sqrt{3} + x}{12 - x^2} = \frac{2\sqrt{3} + x}{\left(2\sqrt{3}\right)^2 - x^2} = \frac{2\sqrt{3} + x}{\left(2\sqrt{3} - x\right)\left(2\sqrt{3} + x\right)} = \frac{1}{2\sqrt{3} - x}\);
4) \(\frac{y^2 - 18}{y - 3\sqrt{2}} = \frac{y^2 - \left(3\sqrt{2}\right)^2}{y - 3\sqrt{2}} = \frac{\left(y - 3\sqrt{2}\right)\left(y + 3\sqrt{2}\right)}{y - 3\sqrt{2}} = y + 3\sqrt{2}\);
5) \(\frac{\sqrt{x} + x}{2 + 2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + \left(\sqrt{x}\right)^2}{2\left(1 + \sqrt{x}\right)} = \frac{\sqrt{x}\left(1 + \sqrt{x}\right)}{2\left(1 + \sqrt{x}\right)} = \frac{\sqrt{x}}{2}\);
6) \(\frac{3 - 3\sqrt{y}}{\sqrt{y} - y} = \frac{3\left(1 - \sqrt{y}\right)}{\sqrt{y} - \left(\sqrt{y}\right)^2} = \frac{3\left(1 - \sqrt{y}\right)}{\sqrt{y}\left(1 - \sqrt{y}\right)} = \frac{3}{\sqrt{y}}\).
Ответ: 1) \(a - \sqrt{5}\); 2) \(-\frac{1}{b + \sqrt{3}}\); 3) \(\frac{1}{2\sqrt{3} - x}\); 4) \(y + 3\sqrt{2}\); 5) \(\frac{\sqrt{x}}{2}\); 6) \(\frac{3}{\sqrt{y}}\).
Сократить дробь: 1) \(\frac{a^2 - 5}{\sqrt{5} + a}\); 2) \(\frac{\sqrt{3} - b}{b^2 - 3}\); 3) \(\frac{2\sqrt{3} + x}{12 - x^2}\); 4) \(\frac{y^2 - 18}{y - 3\sqrt{2}}\); 5) \(\frac{\sqrt{x} + x}{2 + 2\sqrt{x}}\); 6) \(\frac{3 - 3\sqrt{y}}{\sqrt{y} - y}\).
В пунктах 1)—4) числа представляем квадратами корней: \(5 = \left(\sqrt{5}\right)^2\), \(3 = \left(\sqrt{3}\right)^2\), \(12 = \left(2\sqrt{3}\right)^2\), \(18 = \left(3\sqrt{2}\right)^2\), — и раскладываем числитель или знаменатель на множители по формуле разности квадратов. В пунктах 5) и 6) пользуемся равенствами \(x = \left(\sqrt{x}\right)^2\) и \(y = \left(\sqrt{y}\right)^2\) и выносим общий множитель за скобки.
1) \(\frac{a^2 - 5}{\sqrt{5} + a} = \frac{a^2 - \left(\sqrt{5}\right)^2}{a + \sqrt{5}} = \frac{\left(a - \sqrt{5}\right)\left(a + \sqrt{5}\right)}{a + \sqrt{5}} = a - \sqrt{5}\);
2) \(\frac{\sqrt{3} - b}{b^2 - 3} = \frac{-\left(b - \sqrt{3}\right)}{b^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2} = \frac{-\left(b - \sqrt{3}\right)}{\left(b - \sqrt{3}\right)\left(b + \sqrt{3}\right)} = -\frac{1}{b + \sqrt{3}}\);
3) \(\frac{2\sqrt{3} + x}{12 - x^2} = \frac{2\sqrt{3} + x}{\left(2\sqrt{3}\right)^2 - x^2} = \frac{2\sqrt{3} + x}{\left(2\sqrt{3} - x\right)\left(2\sqrt{3} + x\right)} = \frac{1}{2\sqrt{3} - x}\);
4) \(\frac{y^2 - 18}{y - 3\sqrt{2}} = \frac{y^2 - \left(3\sqrt{2}\right)^2}{y - 3\sqrt{2}} = \frac{\left(y - 3\sqrt{2}\right)\left(y + 3\sqrt{2}\right)}{y - 3\sqrt{2}} = y + 3\sqrt{2}\);
5) \(\frac{\sqrt{x} + x}{2 + 2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + \left(\sqrt{x}\right)^2}{2\left(1 + \sqrt{x}\right)} = \frac{\sqrt{x}\left(1 + \sqrt{x}\right)}{2\left(1 + \sqrt{x}\right)} = \frac{\sqrt{x}}{2}\);
6) \(\frac{3 - 3\sqrt{y}}{\sqrt{y} - y} = \frac{3\left(1 - \sqrt{y}\right)}{\sqrt{y} - \left(\sqrt{y}\right)^2} = \frac{3\left(1 - \sqrt{y}\right)}{\sqrt{y}\left(1 - \sqrt{y}\right)} = \frac{3}{\sqrt{y}}\).
Каждое из полученных равенств верно при всех значениях переменных, при которых обе его части имеют смысл.
Ответ: 1) \(a - \sqrt{5}\); 2) \(-\frac{1}{b + \sqrt{3}}\); 3) \(\frac{1}{2\sqrt{3} - x}\); 4) \(y + 3\sqrt{2}\); 5) \(\frac{\sqrt{x}}{2}\); 6) \(\frac{3}{\sqrt{y}}\).
