Страница 49 номер 2.4.14, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Разложить на множители: 1) \(x^2 - 2\); 2) \(a^2 - 3\); 3) \(4y^2 - 5\); 4) \(19 - 9z^2\); 5) \(b - 16\), где \(b \ge 0\); 6) \(25 - c\), где \(c > 0\); 7) \(\sqrt{a} + a\); 8) \(c - \sqrt{c}\).
В пунктах 5)—8) буквы неотрицательны, поэтому равенство \(\left(\sqrt{t}\right)^2 = t\) применимо и к ним.
1) \(x^2 - 2 = x^2 - \left(\sqrt{2}\right)^2 = \left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right)\);
2) \(a^2 - 3 = a^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2 = \left(a - \sqrt{3}\right)\left(a + \sqrt{3}\right)\);
3) \(4y^2 - 5 = (2y)^2 - \left(\sqrt{5}\right)^2 = \left(2y - \sqrt{5}\right)\left(2y + \sqrt{5}\right)\);
4) \(19 - 9z^2 = \left(\sqrt{19}\right)^2 - (3z)^2 = \left(\sqrt{19} - 3z\right)\left(\sqrt{19} + 3z\right)\);
5) \(b - 16 = \left(\sqrt{b}\right)^2 - 4^2 = \left(\sqrt{b} - 4\right)\left(\sqrt{b} + 4\right)\);
6) \(25 - c = 5^2 - \left(\sqrt{c}\right)^2 = \left(5 - \sqrt{c}\right)\left(5 + \sqrt{c}\right)\);
7) \(\sqrt{a} + a = \sqrt{a} + \left(\sqrt{a}\right)^2 = \sqrt{a}\left(1 + \sqrt{a}\right)\) — вынесен общий множитель \(\sqrt{a}\);
8) \(c - \sqrt{c} = \left(\sqrt{c}\right)^2 - \sqrt{c} = \sqrt{c}\left(\sqrt{c} - 1\right)\) — вынесен общий множитель \(\sqrt{c}\).
Ответ: 1) \(\left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right)\); 2) \(\left(a - \sqrt{3}\right)\left(a + \sqrt{3}\right)\); 3) \(\left(2y - \sqrt{5}\right)\left(2y + \sqrt{5}\right)\); 4) \(\left(\sqrt{19} - 3z\right)\left(\sqrt{19} + 3z\right)\); 5) \(\left(\sqrt{b} - 4\right)\left(\sqrt{b} + 4\right)\); 6) \(\left(5 - \sqrt{c}\right)\left(5 + \sqrt{c}\right)\); 7) \(\sqrt{a}\left(1 + \sqrt{a}\right)\); 8) \(\sqrt{c}\left(\sqrt{c} - 1\right)\).
Разложить на множители: 1) \(x^2 - 2\); 2) \(a^2 - 3\); 3) \(4y^2 - 5\); 4) \(19 - 9z^2\); 5) \(b - 16\), где \(b \ge 0\); 6) \(25 - c\), где \(c > 0\); 7) \(\sqrt{a} + a\); 8) \(c - \sqrt{c}\).
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. Неотрицательное число \(t\) для этого записывают как \(\left(\sqrt{t}\right)^2\). В пунктах 5)—8) буквы неотрицательны, поэтому равенство \(\left(\sqrt{t}\right)^2 = t\) применимо и к ним.
1) \(x^2 - 2 = x^2 - \left(\sqrt{2}\right)^2 = \left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right)\);
2) \(a^2 - 3 = a^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2 = \left(a - \sqrt{3}\right)\left(a + \sqrt{3}\right)\);
3) \(4y^2 - 5 = (2y)^2 - \left(\sqrt{5}\right)^2 = \left(2y - \sqrt{5}\right)\left(2y + \sqrt{5}\right)\);
4) \(19 - 9z^2 = \left(\sqrt{19}\right)^2 - (3z)^2 = \left(\sqrt{19} - 3z\right)\left(\sqrt{19} + 3z\right)\);
5) \(b - 16 = \left(\sqrt{b}\right)^2 - 4^2 = \left(\sqrt{b} - 4\right)\left(\sqrt{b} + 4\right)\);
6) \(25 - c = 5^2 - \left(\sqrt{c}\right)^2 = \left(5 - \sqrt{c}\right)\left(5 + \sqrt{c}\right)\);
7) \(\sqrt{a} + a = \sqrt{a} + \left(\sqrt{a}\right)^2 = \sqrt{a}\left(1 + \sqrt{a}\right)\) — общий множитель \(\sqrt{a}\) вынесен за скобки;
8) \(c - \sqrt{c} = \left(\sqrt{c}\right)^2 - \sqrt{c} = \sqrt{c}\left(\sqrt{c} - 1\right)\) — общий множитель \(\sqrt{c}\) вынесен за скобки.
Ответ: 1) \(\left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right)\); 2) \(\left(a - \sqrt{3}\right)\left(a + \sqrt{3}\right)\); 3) \(\left(2y - \sqrt{5}\right)\left(2y + \sqrt{5}\right)\); 4) \(\left(\sqrt{19} - 3z\right)\left(\sqrt{19} + 3z\right)\); 5) \(\left(\sqrt{b} - 4\right)\left(\sqrt{b} + 4\right)\); 6) \(\left(5 - \sqrt{c}\right)\left(5 + \sqrt{c}\right)\); 7) \(\sqrt{a}\left(1 + \sqrt{a}\right)\); 8) \(\sqrt{c}\left(\sqrt{c} - 1\right)\).
