Страница 49 номер 2.4.10, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Упростить выражение, если \(a > 0\) и \(b > 0\): 1) \(\frac{2}{a}\sqrt{a^2 b} + \frac{3}{b}\sqrt{ab^2}\); 2) \(b\sqrt{\frac{a}{b^2}} - a\sqrt{\frac{b}{a^2}}\); 3) \(\frac{5}{a}\sqrt{a^3 b} - \frac{4}{a}\sqrt{ab^3}\); 4) \(2a\sqrt{\frac{b}{a^3}} - 3b\sqrt{\frac{a}{b^3}}\).
Так как \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(\sqrt{a^2} = \left|a\right| = a\) и \(\sqrt{b^2} = \left|b\right| = b\).
1)
\[\begin{aligned} &\frac{2}{a}\sqrt{a^2 b} + \frac{3}{b}\sqrt{ab^2} = \frac{2}{a}\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} + \frac{3}{b}\sqrt{b^2} \cdot \sqrt{a} = {} \\ &= \frac{2\left|a\right|}{a}\sqrt{b} + \frac{3\left|b\right|}{b}\sqrt{a} = \frac{2a}{a}\sqrt{b} + \frac{3b}{b}\sqrt{a} = 2\sqrt{b} + 3\sqrt{a}. \end{aligned}\]
2)
\[\begin{aligned} &b\sqrt{\frac{a}{b^2}} - a\sqrt{\frac{b}{a^2}} = \frac{b\sqrt{a}}{\sqrt{b^2}} - \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a^2}} = {} \\ &= \frac{b\sqrt{a}}{\left|b\right|} - \frac{a\sqrt{b}}{\left|a\right|} = \frac{b\sqrt{a}}{b} - \frac{a\sqrt{b}}{a} = \sqrt{a} - \sqrt{b}. \end{aligned}\]
3)
\[\begin{aligned} &\frac{5}{a}\sqrt{a^3 b} - \frac{4}{a}\sqrt{ab^3} = \frac{5}{a}\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{ab} - \frac{4}{a}\sqrt{b^2} \cdot \sqrt{ab} = {} \\ &= \frac{5\left|a\right|}{a}\sqrt{ab} - \frac{4\left|b\right|}{a}\sqrt{ab} = 5\sqrt{ab} - \frac{4b}{a}\sqrt{ab} = \frac{(5a - 4b)\sqrt{ab}}{a}. \end{aligned}\]
4) \(\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = \left|a\right|\sqrt{a} = a\sqrt{a}\) и \(\sqrt{b^3} = \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{b} = \left|b\right|\sqrt{b} = b\sqrt{b}\), поэтому
\[\begin{aligned} &2a\sqrt{\frac{b}{a^3}} - 3b\sqrt{\frac{a}{b^3}} = \frac{2a\sqrt{b}}{a\sqrt{a}} - \frac{3b\sqrt{a}}{b\sqrt{b}} = {} \\ &= \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}} - \frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = 2\sqrt{\frac{b}{a}} - 3\sqrt{\frac{a}{b}}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(2\sqrt{b} + 3\sqrt{a}\); 2) \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\); 3) \(\frac{(5a - 4b)\sqrt{ab}}{a}\); 4) \(2\sqrt{\frac{b}{a}} - 3\sqrt{\frac{a}{b}}\).
Упростить выражение, если \(a > 0\) и \(b > 0\): 1) \(\frac{2}{a}\sqrt{a^2 b} + \frac{3}{b}\sqrt{ab^2}\); 2) \(b\sqrt{\frac{a}{b^2}} - a\sqrt{\frac{b}{a^2}}\); 3) \(\frac{5}{a}\sqrt{a^3 b} - \frac{4}{a}\sqrt{ab^3}\); 4) \(2a\sqrt{\frac{b}{a^3}} - 3b\sqrt{\frac{a}{b^3}}\).
Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней, а корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем — корню из числителя, делённому на корень из знаменателя. Так как \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(\sqrt{a^2} = \left|a\right| = a\) и \(\sqrt{b^2} = \left|b\right| = b\).
1)
\[\begin{aligned} &\frac{2}{a}\sqrt{a^2 b} + \frac{3}{b}\sqrt{ab^2} = \frac{2}{a}\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} + \frac{3}{b}\sqrt{b^2} \cdot \sqrt{a} = {} \\ &= \frac{2\left|a\right|}{a}\sqrt{b} + \frac{3\left|b\right|}{b}\sqrt{a} = \frac{2a}{a}\sqrt{b} + \frac{3b}{b}\sqrt{a} = 2\sqrt{b} + 3\sqrt{a}. \end{aligned}\]
2)
\[\begin{aligned} &b\sqrt{\frac{a}{b^2}} - a\sqrt{\frac{b}{a^2}} = \frac{b\sqrt{a}}{\sqrt{b^2}} - \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a^2}} = {} \\ &= \frac{b\sqrt{a}}{\left|b\right|} - \frac{a\sqrt{b}}{\left|a\right|} = \frac{b\sqrt{a}}{b} - \frac{a\sqrt{b}}{a} = \sqrt{a} - \sqrt{b}. \end{aligned}\]
3)
\[\begin{aligned} &\frac{5}{a}\sqrt{a^3 b} - \frac{4}{a}\sqrt{ab^3} = \frac{5}{a}\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{ab} - \frac{4}{a}\sqrt{b^2} \cdot \sqrt{ab} = {} \\ &= \frac{5\left|a\right|}{a}\sqrt{ab} - \frac{4\left|b\right|}{a}\sqrt{ab} = 5\sqrt{ab} - \frac{4b}{a}\sqrt{ab} = \frac{(5a - 4b)\sqrt{ab}}{a}. \end{aligned}\]
4) Так как \(\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = \left|a\right|\sqrt{a} = a\sqrt{a}\) и \(\sqrt{b^3} = \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{b} = \left|b\right|\sqrt{b} = b\sqrt{b}\), то
\[\begin{aligned} &2a\sqrt{\frac{b}{a^3}} - 3b\sqrt{\frac{a}{b^3}} = \frac{2a\sqrt{b}}{a\sqrt{a}} - \frac{3b\sqrt{a}}{b\sqrt{b}} = {} \\ &= \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}} - \frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = 2\sqrt{\frac{b}{a}} - 3\sqrt{\frac{a}{b}}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(2\sqrt{b} + 3\sqrt{a}\); 2) \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\); 3) \(\frac{(5a - 4b)\sqrt{ab}}{a}\); 4) \(2\sqrt{\frac{b}{a}} - 3\sqrt{\frac{a}{b}}\).
