Страница 40 номер 2.3.8, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Упростив выражение \(\frac{1}{a - 2b} + \frac{1}{a + 2b} + \frac{a}{4b^2 - a^2}\), найти его значение при \(a = -2\), \(b = 2\).
Так как \(4b^2 - a^2 = -(a^2 - 4b^2) = -(a - 2b)(a + 2b)\), у третьей дроби меняем знак знаменателя и знак перед дробью:
\[\begin{aligned} &\frac{1}{a - 2b} + \frac{1}{a + 2b} + \frac{a}{4b^2 - a^2} = {} \\ &= \frac{1}{a - 2b} + \frac{1}{a + 2b} - \frac{a}{(a - 2b)(a + 2b)} = {} \\ &= \frac{a + 2b + a - 2b - a}{(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{a}{a^2 - 4b^2}. \end{aligned}\]
При \(a = -2\) и \(b = 2\):
\[\frac{a}{a^2 - 4b^2} = \frac{-2}{(-2)^2 - 4 \cdot 2^2} = \frac{-2}{4 - 16} = \frac{-2}{-12} = \frac{1}{6}.\]
Ответ: \(\frac{a}{a^2 - 4b^2}\); при \(a = -2\) и \(b = 2\) значение выражения равно \(\frac{1}{6}\).
Упростив выражение \(\frac{1}{a - 2b} + \frac{1}{a + 2b} + \frac{a}{4b^2 - a^2}\), найти его значение при \(a = -2\), \(b = 2\).
Так как \(4b^2 - a^2 = -(a^2 - 4b^2) = -(a - 2b)(a + 2b)\), у третьей дроби изменим знак знаменателя и знак перед дробью; общим знаменателем всех трёх дробей служит выражение \((a - 2b)(a + 2b)\):
\[\begin{aligned} &\frac{1}{a - 2b} + \frac{1}{a + 2b} + \frac{a}{4b^2 - a^2} = {} \\ &= \frac{1}{a - 2b} + \frac{1}{a + 2b} - \frac{a}{(a - 2b)(a + 2b)} = {} \\ &= \frac{a + 2b + a - 2b - a}{(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{a}{a^2 - 4b^2}. \end{aligned}\]
При \(a = -2\) и \(b = 2\) получим
\[\frac{a}{a^2 - 4b^2} = \frac{-2}{(-2)^2 - 4 \cdot 2^2} = \frac{-2}{4 - 16} = \frac{-2}{-12} = \frac{1}{6}.\]
Ответ: \(\frac{a}{a^2 - 4b^2}\); при \(a = -2\) и \(b = 2\) значение выражения равно \(\frac{1}{6}\).
