Страница 39 номер 2.3.4, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Сократить дробь: 1) \(\frac{10x^2 + 7x - 6}{2x - 1}\); 2) \(\frac{24x^2 + 2x - 15}{4x - 3}\); 3) \(\frac{7x - 3}{21x^2 + 5x - 6}\); 4) \(\frac{4x + 5}{20x^2 + 17x - 10}\); 5) \(\frac{12x^2 - 5x - 3}{15x^2 + 2x - 1}\); 6) \(\frac{14x^2 - 19x - 3}{8x^2 - 6x - 9}\).
1)
\[10x^2 + 7x - 6 = 10x^2 + 12x - 5x - 6 = 2x(5x + 6) - (5x + 6) = (5x + 6)(2x - 1).\]
\[\frac{10x^2 + 7x - 6}{2x - 1} = \frac{(5x + 6)(2x - 1)}{2x - 1} = 5x + 6.\]
2)
\[24x^2 + 2x - 15 = 24x^2 + 20x - 18x - 15 = 4x(6x + 5) - 3(6x + 5) = (6x + 5)(4x - 3).\]
\[\frac{24x^2 + 2x - 15}{4x - 3} = \frac{(6x + 5)(4x - 3)}{4x - 3} = 6x + 5.\]
3)
\[21x^2 + 5x - 6 = 21x^2 + 14x - 9x - 6 = 7x(3x + 2) - 3(3x + 2) = (3x + 2)(7x - 3).\]
\[\frac{7x - 3}{21x^2 + 5x - 6} = \frac{7x - 3}{(3x + 2)(7x - 3)} = \frac{1}{3x + 2}.\]
4)
\[20x^2 + 17x - 10 = 20x^2 + 25x - 8x - 10 = 5x(4x + 5) - 2(4x + 5) = (4x + 5)(5x - 2).\]
\[\frac{4x + 5}{20x^2 + 17x - 10} = \frac{4x + 5}{(4x + 5)(5x - 2)} = \frac{1}{5x - 2}.\]
5)
\[12x^2 - 5x - 3 = 12x^2 + 4x - 9x - 3 = 4x(3x + 1) - 3(3x + 1) = (3x + 1)(4x - 3),\]
\[15x^2 + 2x - 1 = 15x^2 + 5x - 3x - 1 = 5x(3x + 1) - (3x + 1) = (3x + 1)(5x - 1).\]
\[\frac{12x^2 - 5x - 3}{15x^2 + 2x - 1} = \frac{(3x + 1)(4x - 3)}{(3x + 1)(5x - 1)} = \frac{4x - 3}{5x - 1}.\]
6)
\[14x^2 - 19x - 3 = 14x^2 + 2x - 21x - 3 = 2x(7x + 1) - 3(7x + 1) = (7x + 1)(2x - 3),\]
\[8x^2 - 6x - 9 = 8x^2 + 6x - 12x - 9 = 2x(4x + 3) - 3(4x + 3) = (4x + 3)(2x - 3).\]
\[\frac{14x^2 - 19x - 3}{8x^2 - 6x - 9} = \frac{(7x + 1)(2x - 3)}{(4x + 3)(2x - 3)} = \frac{7x + 1}{4x + 3}.\]
Ответ: 1) \(5x + 6\); 2) \(6x + 5\); 3) \(\frac{1}{3x + 2}\); 4) \(\frac{1}{5x - 2}\); 5) \(\frac{4x - 3}{5x - 1}\); 6) \(\frac{7x + 1}{4x + 3}\).
Сократить дробь: 1) \(\frac{10x^2 + 7x - 6}{2x - 1}\); 2) \(\frac{24x^2 + 2x - 15}{4x - 3}\); 3) \(\frac{7x - 3}{21x^2 + 5x - 6}\); 4) \(\frac{4x + 5}{20x^2 + 17x - 10}\); 5) \(\frac{12x^2 - 5x - 3}{15x^2 + 2x - 1}\); 6) \(\frac{14x^2 - 19x - 3}{8x^2 - 6x - 9}\).
Квадратный трёхчлен в каждом пункте раскладываем на множители так: средний член представляем в виде суммы двух одночленов и применяем способ группировки.
1) Разложим числитель на множители:
\[10x^2 + 7x - 6 = 10x^2 + 12x - 5x - 6 = 2x(5x + 6) - (5x + 6) = (5x + 6)(2x - 1).\]
Сократим дробь на общий множитель \(2x - 1\):
\[\frac{10x^2 + 7x - 6}{2x - 1} = \frac{(5x + 6)(2x - 1)}{2x - 1} = 5x + 6.\]
2) Разложим числитель на множители:
\[24x^2 + 2x - 15 = 24x^2 + 20x - 18x - 15 = 4x(6x + 5) - 3(6x + 5) = (6x + 5)(4x - 3).\]
Сократим дробь на общий множитель \(4x - 3\):
\[\frac{24x^2 + 2x - 15}{4x - 3} = \frac{(6x + 5)(4x - 3)}{4x - 3} = 6x + 5.\]
3) Разложим знаменатель на множители:
\[21x^2 + 5x - 6 = 21x^2 + 14x - 9x - 6 = 7x(3x + 2) - 3(3x + 2) = (3x + 2)(7x - 3).\]
Сократим дробь на общий множитель \(7x - 3\):
\[\frac{7x - 3}{21x^2 + 5x - 6} = \frac{7x - 3}{(3x + 2)(7x - 3)} = \frac{1}{3x + 2}.\]
4) Разложим знаменатель на множители:
\[20x^2 + 17x - 10 = 20x^2 + 25x - 8x - 10 = 5x(4x + 5) - 2(4x + 5) = (4x + 5)(5x - 2).\]
Сократим дробь на общий множитель \(4x + 5\):
\[\frac{4x + 5}{20x^2 + 17x - 10} = \frac{4x + 5}{(4x + 5)(5x - 2)} = \frac{1}{5x - 2}.\]
5) Разложим на множители числитель и знаменатель:
\[12x^2 - 5x - 3 = 12x^2 + 4x - 9x - 3 = 4x(3x + 1) - 3(3x + 1) = (3x + 1)(4x - 3),\]
\[15x^2 + 2x - 1 = 15x^2 + 5x - 3x - 1 = 5x(3x + 1) - (3x + 1) = (3x + 1)(5x - 1).\]
Сократим дробь на общий множитель \(3x + 1\):
\[\frac{12x^2 - 5x - 3}{15x^2 + 2x - 1} = \frac{(3x + 1)(4x - 3)}{(3x + 1)(5x - 1)} = \frac{4x - 3}{5x - 1}.\]
6) Разложим на множители числитель и знаменатель:
\[14x^2 - 19x - 3 = 14x^2 + 2x - 21x - 3 = 2x(7x + 1) - 3(7x + 1) = (7x + 1)(2x - 3),\]
\[8x^2 - 6x - 9 = 8x^2 + 6x - 12x - 9 = 2x(4x + 3) - 3(4x + 3) = (4x + 3)(2x - 3).\]
Сократим дробь на общий множитель \(2x - 3\):
\[\frac{14x^2 - 19x - 3}{8x^2 - 6x - 9} = \frac{(7x + 1)(2x - 3)}{(4x + 3)(2x - 3)} = \frac{7x + 1}{4x + 3}.\]
Каждое из полученных равенств верно при всех значениях \(x\), при которых обе его части имеют смысл.
Ответ: 1) \(5x + 6\); 2) \(6x + 5\); 3) \(\frac{1}{3x + 2}\); 4) \(\frac{1}{5x - 2}\); 5) \(\frac{4x - 3}{5x - 1}\); 6) \(\frac{7x + 1}{4x + 3}\).
