Страница 38 номер 2.3.3, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Сократить дробь, разложив предварительно её числитель и знаменатель на множители: 1) \(\frac{2x + 6y}{8x + 24y}\); 2) \(\frac{3a + 15b}{6a + 30b}\); 3) \(\frac{a^2}{ab^2 + ac}\); 4) \(\frac{xy - zy^2}{y^3}\); 5) \(\frac{p^2 q - p^3}{pq^3 - p^2 q^2}\); 6) \(\frac{m^3 n + m^4}{mn^3 + m^2 n^2}\); 7) \(\frac{3x + 6y}{x^2 - 4y}\); 8) \(\frac{3x - y}{18x^2 - 2y^2}\); 9) \(\frac{2a - 4b}{4b^2 - a^2}\); 10) \(\frac{6a - 3b}{2b^2 - 8a^2}\); 11) \(\frac{x^2 - 4xy + 4y^2}{4y^2 - x^2}\); 12) \(\frac{y^2 - 9x^2}{9x^2 - 6xy + y^2}\); 13) \(\frac{xy - 3y + 2x^2 - 6x}{y^2 - 4x^2}\); 14) \(\frac{9b^2 - a^2}{ab - 3b^2 - 4a + 12b}\).
\(a - b = -(b - a)\), поэтому квадраты этих выражений равны: \((a - b)^2 = (b - a)^2\).
1) \(\frac{2x + 6y}{8x + 24y} = \frac{2(x + 3y)}{8(x + 3y)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\);
2) \(\frac{3a + 15b}{6a + 30b} = \frac{3(a + 5b)}{6(a + 5b)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\);
3) \(\frac{a^2}{ab^2 + ac} = \frac{a \cdot a}{a(b^2 + c)} = \frac{a}{b^2 + c}\);
4) \(\frac{xy - zy^2}{y^3} = \frac{y(x - yz)}{y \cdot y^2} = \frac{x - yz}{y^2}\);
5) \(\frac{p^2 q - p^3}{pq^3 - p^2 q^2} = \frac{p^2 (q - p)}{pq^2 (q - p)} = \frac{p^2}{pq^2} = \frac{p}{q^2}\);
6) \(\frac{m^3 n + m^4}{mn^3 + m^2 n^2} = \frac{m^3 (n + m)}{mn^2 (n + m)} = \frac{m^3}{mn^2} = \frac{m^2}{n^2}\);
7) \(\frac{3x + 6y}{x^2 - 4y^2} = \frac{3(x + 2y)}{(x - 2y)(x + 2y)} = \frac{3}{x - 2y}\);
8) \(\frac{3x - y}{18x^2 - 2y^2} = \frac{3x - y}{2(9x^2 - y^2)} = \frac{3x - y}{2(3x - y)(3x + y)} = \frac{1}{2(3x + y)}\);
9) \(\frac{2a - 4b}{4b^2 - a^2} = \frac{2(a - 2b)}{(2b - a)(2b + a)} = \frac{-2(2b - a)}{(2b - a)(2b + a)} = -\frac{2}{a + 2b}\);
10) \(\frac{6a - 3b}{2b^2 - 8a^2} = \frac{3(2a - b)}{2(b - 2a)(b + 2a)} = \frac{-3(b - 2a)}{2(b - 2a)(b + 2a)} = -\frac{3}{2(2a + b)}\);
11) \(\frac{x^2 - 4xy + 4y^2}{4y^2 - x^2} = \frac{(x - 2y)^2}{(2y - x)(2y + x)} = \frac{(2y - x)^2}{(2y - x)(2y + x)} = \frac{2y - x}{2y + x}\);
12) \(\frac{y^2 - 9x^2}{9x^2 - 6xy + y^2} = \frac{(y - 3x)(y + 3x)}{(3x - y)^2} = \frac{(y - 3x)(y + 3x)}{(y - 3x)^2} = \frac{y + 3x}{y - 3x}\);
13) \(\frac{xy - 3y + 2x^2 - 6x}{y^2 - 4x^2} = \frac{y(x - 3) + 2x(x - 3)}{(y - 2x)(y + 2x)} = \frac{(x - 3)(y + 2x)}{(y - 2x)(y + 2x)} = \frac{x - 3}{y - 2x}\);
14) \(\frac{9b^2 - a^2}{ab - 3b^2 - 4a + 12b} = \frac{(3b - a)(3b + a)}{b(a - 3b) - 4(a - 3b)} = \frac{-(a - 3b)(3b + a)}{(a - 3b)(b - 4)} = -\frac{3b + a}{b - 4} = \frac{3b + a}{4 - b}\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{4}\); 2) \(\frac{1}{2}\); 3) \(\frac{a}{b^2 + c}\); 4) \(\frac{x - yz}{y^2}\); 5) \(\frac{p}{q^2}\); 6) \(\frac{m^2}{n^2}\); 7) \(\frac{3}{x - 2y}\); 8) \(\frac{1}{2(3x + y)}\); 9) \(-\frac{2}{a + 2b}\); 10) \(-\frac{3}{2(2a + b)}\); 11) \(\frac{2y - x}{2y + x}\); 12) \(\frac{y + 3x}{y - 3x}\); 13) \(\frac{x - 3}{y - 2x}\); 14) \(\frac{3b + a}{4 - b}\).
Сократить дробь, разложив предварительно её числитель и знаменатель на множители: 1) \(\frac{2x + 6y}{8x + 24y}\); 2) \(\frac{3a + 15b}{6a + 30b}\); 3) \(\frac{a^2}{ab^2 + ac}\); 4) \(\frac{xy - zy^2}{y^3}\); 5) \(\frac{p^2 q - p^3}{pq^3 - p^2 q^2}\); 6) \(\frac{m^3 n + m^4}{mn^3 + m^2 n^2}\); 7) \(\frac{3x + 6y}{x^2 - 4y}\); 8) \(\frac{3x - y}{18x^2 - 2y^2}\); 9) \(\frac{2a - 4b}{4b^2 - a^2}\); 10) \(\frac{6a - 3b}{2b^2 - 8a^2}\); 11) \(\frac{x^2 - 4xy + 4y^2}{4y^2 - x^2}\); 12) \(\frac{y^2 - 9x^2}{9x^2 - 6xy + y^2}\); 13) \(\frac{xy - 3y + 2x^2 - 6x}{y^2 - 4x^2}\); 14) \(\frac{9b^2 - a^2}{ab - 3b^2 - 4a + 12b}\).
Выражения \(a - b\) и \(b - a\) противоположны: \(a - b = -(b - a)\). Поэтому квадраты таких выражений равны: \((a - b)^2 = (b - a)^2\).
1) \(\frac{2x + 6y}{8x + 24y} = \frac{2(x + 3y)}{8(x + 3y)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\);
2) \(\frac{3a + 15b}{6a + 30b} = \frac{3(a + 5b)}{6(a + 5b)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\);
3) \(\frac{a^2}{ab^2 + ac} = \frac{a \cdot a}{a(b^2 + c)} = \frac{a}{b^2 + c}\);
4) \(\frac{xy - zy^2}{y^3} = \frac{y(x - yz)}{y \cdot y^2} = \frac{x - yz}{y^2}\);
5) \(\frac{p^2 q - p^3}{pq^3 - p^2 q^2} = \frac{p^2 (q - p)}{pq^2 (q - p)} = \frac{p^2}{pq^2} = \frac{p}{q^2}\);
6) \(\frac{m^3 n + m^4}{mn^3 + m^2 n^2} = \frac{m^3 (n + m)}{mn^2 (n + m)} = \frac{m^3}{mn^2} = \frac{m^2}{n^2}\);
7) \(\frac{3x + 6y}{x^2 - 4y^2} = \frac{3(x + 2y)}{(x - 2y)(x + 2y)} = \frac{3}{x - 2y}\);
8) \(\frac{3x - y}{18x^2 - 2y^2} = \frac{3x - y}{2(9x^2 - y^2)} = \frac{3x - y}{2(3x - y)(3x + y)} = \frac{1}{2(3x + y)}\);
9) \(\frac{2a - 4b}{4b^2 - a^2} = \frac{2(a - 2b)}{(2b - a)(2b + a)} = \frac{-2(2b - a)}{(2b - a)(2b + a)} = -\frac{2}{a + 2b}\);
10) \(\frac{6a - 3b}{2b^2 - 8a^2} = \frac{3(2a - b)}{2(b - 2a)(b + 2a)} = \frac{-3(b - 2a)}{2(b - 2a)(b + 2a)} = -\frac{3}{2(2a + b)}\);
11) \(\frac{x^2 - 4xy + 4y^2}{4y^2 - x^2} = \frac{(x - 2y)^2}{(2y - x)(2y + x)} = \frac{(2y - x)^2}{(2y - x)(2y + x)} = \frac{2y - x}{2y + x}\);
12) \(\frac{y^2 - 9x^2}{9x^2 - 6xy + y^2} = \frac{(y - 3x)(y + 3x)}{(3x - y)^2} = \frac{(y - 3x)(y + 3x)}{(y - 3x)^2} = \frac{y + 3x}{y - 3x}\);
13) \(\frac{xy - 3y + 2x^2 - 6x}{y^2 - 4x^2} = \frac{y(x - 3) + 2x(x - 3)}{(y - 2x)(y + 2x)} = \frac{(x - 3)(y + 2x)}{(y - 2x)(y + 2x)} = \frac{x - 3}{y - 2x}\);
14) \(\frac{9b^2 - a^2}{ab - 3b^2 - 4a + 12b} = \frac{(3b - a)(3b + a)}{b(a - 3b) - 4(a - 3b)} = \frac{-(a - 3b)(3b + a)}{(a - 3b)(b - 4)} = -\frac{3b + a}{b - 4} = \frac{3b + a}{4 - b}\).
Каждое из полученных равенств верно при всех значениях переменных, при которых обе его части имеют смысл.
Ответ: 1) \(\frac{1}{4}\); 2) \(\frac{1}{2}\); 3) \(\frac{a}{b^2 + c}\); 4) \(\frac{x - yz}{y^2}\); 5) \(\frac{p}{q^2}\); 6) \(\frac{m^2}{n^2}\); 7) \(\frac{3}{x - 2y}\); 8) \(\frac{1}{2(3x + y)}\); 9) \(-\frac{2}{a + 2b}\); 10) \(-\frac{3}{2(2a + b)}\); 11) \(\frac{2y - x}{2y + x}\); 12) \(\frac{y + 3x}{y - 3x}\); 13) \(\frac{x - 3}{y - 2x}\); 14) \(\frac{3b + a}{4 - b}\).
