Страница 39 номер 2.3.5, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Упростить выражение и найти его числовое значение: 1) \(\frac{a^2 b + ab^2}{b^2 - a^2}\) при \(a = \frac{1}{4}\), \(b = -2\); 2) \(\frac{a^2 - b^2}{a^2 b^3 - a^3 b^2}\) при \(a = 0{,}5\), \(b = -4\).
1)
\[\frac{a^2b + ab^2}{b^2 - a^2} = \frac{ab(a + b)}{(b - a)(b + a)} = \frac{ab}{b - a}.\]
При \(a = \frac{1}{4}\) и \(b = -2\): \(ab = \frac{1}{4} \cdot (-2) = -\frac{1}{2}\), \(b - a = -2 - \frac{1}{4} = -\frac{9}{4}\).
\[\frac{ab}{b - a} = -\frac{1}{2} : \left(-\frac{9}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{9}.\]
2) Чтобы сократить дробь, в числителе вынесем минус за скобки:
\[\frac{a^2 - b^2}{a^2b^3 - a^3b^2} = \frac{(a - b)(a + b)}{a^2b^2(b - a)} = \frac{-(b - a)(a + b)}{a^2b^2(b - a)} = -\frac{a + b}{a^2b^2}.\]
При \(a = 0{,}5\) и \(b = -4\): \(a + b = 0{,}5 - 4 = -3{,}5\), \(a^2b^2 = 0{,}5^2 \cdot (-4)^2 = 0{,}25 \cdot 16 = 4\).
\[-\frac{a + b}{a^2b^2} = -\frac{-3{,}5}{4} = \frac{3{,}5}{4} = \frac{7}{8}.\]
Ответ: 1) \(\frac{ab}{b - a}\), при \(a = \frac{1}{4}\) и \(b = -2\) значение выражения равно \(\frac{2}{9}\); 2) \(-\frac{a + b}{a^2b^2}\), при \(a = 0{,}5\) и \(b = -4\) значение выражения равно \(\frac{7}{8}\).
Упростить выражение и найти его числовое значение: 1) \(\frac{a^2 b + ab^2}{b^2 - a^2}\) при \(a = \frac{1}{4}\), \(b = -2\); 2) \(\frac{a^2 - b^2}{a^2 b^3 - a^3 b^2}\) при \(a = 0{,}5\), \(b = -4\).
1) Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь на общий множитель \(a + b\):
\[\frac{a^2b + ab^2}{b^2 - a^2} = \frac{ab(a + b)}{(b - a)(b + a)} = \frac{ab}{b - a}.\]
Это равенство верно при всех \(a\) и \(b\), при которых обе его части имеют смысл.
При \(a = \frac{1}{4}\) и \(b = -2\) получим \(ab = \frac{1}{4} \cdot (-2) = -\frac{1}{2}\) и \(b - a = -2 - \frac{1}{4} = -\frac{9}{4}\), поэтому
\[\frac{ab}{b - a} = -\frac{1}{2} : \left(-\frac{9}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{9}.\]
2) Разложим числитель и знаменатель на множители; чтобы сократить дробь, вынесем в числителе минус за скобки:
\[\frac{a^2 - b^2}{a^2b^3 - a^3b^2} = \frac{(a - b)(a + b)}{a^2b^2(b - a)} = \frac{-(b - a)(a + b)}{a^2b^2(b - a)} = -\frac{a + b}{a^2b^2}.\]
Это равенство верно при всех \(a\) и \(b\), при которых обе его части имеют смысл.
При \(a = 0{,}5\) и \(b = -4\) получим \(a + b = 0{,}5 - 4 = -3{,}5\) и \(a^2b^2 = 0{,}5^2 \cdot (-4)^2 = 0{,}25 \cdot 16 = 4\), поэтому
\[-\frac{a + b}{a^2b^2} = -\frac{-3{,}5}{4} = \frac{3{,}5}{4} = \frac{7}{8}.\]
Ответ: 1) \(\frac{ab}{b - a}\), при \(a = \frac{1}{4}\) и \(b = -2\) значение выражения равно \(\frac{2}{9}\); 2) \(-\frac{a + b}{a^2b^2}\), при \(a = 0{,}5\) и \(b = -4\) значение выражения равно \(\frac{7}{8}\).
