Страница 46 номер 2.3.33, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Представить в виде дроби выражение: 1) \(x^{-3}+y^{-2}\); 2) \(x^{-2}+y^{-3}\); 3) \(c^{-5}-c^{0}\); 4) \(d^{0}-d^{-6}\); 5) \(xy^{-5}-zy^{-2}\); 6) \(2a^{-7}-3b^{-4}\); 7) \(a^{-2}b^{-1}+a^{-1}b^{-2}\); 8) \(m^{-3}n^{-2}+m^{-2}n^{-3}\); 9) \((a+a^{-1})(b+b^{-1})\); 10) \((m^2+m^{-1})(n^2+n^{-2})\); 11) \((x^{-1}-y^{-1}):(x^{-2}-y^{-2})\); 12) \((a^{-2}-b^{-2}):(a^{-1}-b^{-1})\).
1) \(x^{-3} + y^{-2} = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^2} = \frac{y^2 + x^3}{x^3 y^2}\);
2) \(x^{-2} + y^{-3} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^3} = \frac{y^3 + x^2}{x^2 y^3}\);
3) \(c^{-5} - c^0 = \frac{1}{c^5} - 1 = \frac{1 - c^5}{c^5}\);
4) \(d^0 - d^{-6} = 1 - \frac{1}{d^6} = \frac{d^6 - 1}{d^6}\);
5) \(xy^{-5} - zy^{-2} = \frac{x}{y^5} - \frac{z}{y^2} = \frac{x - zy^3}{y^5}\);
6) \(2a^{-7} - 3b^{-4} = \frac{2}{a^7} - \frac{3}{b^4} = \frac{2b^4 - 3a^7}{a^7 b^4}\);
7) \(a^{-2}b^{-1} + a^{-1}b^{-2} = \frac{1}{a^2 b} + \frac{1}{ab^2} = \frac{b + a}{a^2 b^2}\);
8) \(m^{-3}n^{-2} + m^{-2}n^{-3} = \frac{1}{m^3 n^2} + \frac{1}{m^2 n^3} = \frac{n + m}{m^3 n^3}\);
9) \[\begin{aligned} &(a + a^{-1})(b + b^{-1}) = \left(a + \frac{1}{a}\right)\left(b + \frac{1}{b}\right) = {} \\ &= \frac{a^2 + 1}{a} \cdot \frac{b^2 + 1}{b} = \frac{a^2 b^2 + a^2 + b^2 + 1}{ab}; \end{aligned}\]
10) \[\begin{aligned} &(m^2 + m^{-1})(n^2 + n^{-2}) = \left(m^2 + \frac{1}{m}\right)\left(n^2 + \frac{1}{n^2}\right) = {} \\ &= \frac{m^3 + 1}{m} \cdot \frac{n^4 + 1}{n^2} = \frac{m^3 n^4 + m^3 + n^4 + 1}{mn^2}; \end{aligned}\]
11) \[\begin{aligned} &(x^{-1} - y^{-1}) : (x^{-2} - y^{-2}) = \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right) : \left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}\right) = {} \\ &= \frac{y - x}{xy} : \frac{(y - x)(y + x)}{x^2 y^2} = \frac{y - x}{xy} \cdot \frac{x^2 y^2}{(y - x)(y + x)} = \frac{xy}{x + y}; \end{aligned}\]
12) \[\begin{aligned} &(a^{-2} - b^{-2}) : (a^{-1} - b^{-1}) = \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) : \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right) = {} \\ &= \frac{(b - a)(b + a)}{a^2 b^2} : \frac{b - a}{ab} = \frac{(b - a)(b + a)}{a^2 b^2} \cdot \frac{ab}{b - a} = \frac{b + a}{ab}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\frac{y^2 + x^3}{x^3 y^2}\); 2) \(\frac{y^3 + x^2}{x^2 y^3}\); 3) \(\frac{1 - c^5}{c^5}\); 4) \(\frac{d^6 - 1}{d^6}\); 5) \(\frac{x - zy^3}{y^5}\); 6) \(\frac{2b^4 - 3a^7}{a^7 b^4}\); 7) \(\frac{b + a}{a^2 b^2}\); 8) \(\frac{n + m}{m^3 n^3}\); 9) \(\frac{a^2 b^2 + a^2 + b^2 + 1}{ab}\); 10) \(\frac{m^3 n^4 + m^3 + n^4 + 1}{mn^2}\); 11) \(\frac{xy}{x + y}\); 12) \(\frac{b + a}{ab}\).
Представить в виде дроби выражение: 1) \(x^{-3}+y^{-2}\); 2) \(x^{-2}+y^{-3}\); 3) \(c^{-5}-c^{0}\); 4) \(d^{0}-d^{-6}\); 5) \(xy^{-5}-zy^{-2}\); 6) \(2a^{-7}-3b^{-4}\); 7) \(a^{-2}b^{-1}+a^{-1}b^{-2}\); 8) \(m^{-3}n^{-2}+m^{-2}n^{-3}\); 9) \((a+a^{-1})(b+b^{-1})\); 10) \((m^2+m^{-1})(n^2+n^{-2})\); 11) \((x^{-1}-y^{-1}):(x^{-2}-y^{-2})\); 12) \((a^{-2}-b^{-2}):(a^{-1}-b^{-1})\).
По определению степени с целым отрицательным показателем \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\), а \(a^0 = 1\) (основание при этом отлично от нуля).
1) \(x^{-3} + y^{-2} = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^2} = \frac{y^2 + x^3}{x^3 y^2}\);
2) \(x^{-2} + y^{-3} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^3} = \frac{y^3 + x^2}{x^2 y^3}\);
3) \(c^{-5} - c^0 = \frac{1}{c^5} - 1 = \frac{1 - c^5}{c^5}\);
4) \(d^0 - d^{-6} = 1 - \frac{1}{d^6} = \frac{d^6 - 1}{d^6}\);
5) \(xy^{-5} - zy^{-2} = \frac{x}{y^5} - \frac{z}{y^2} = \frac{x - zy^3}{y^5}\);
6) \(2a^{-7} - 3b^{-4} = \frac{2}{a^7} - \frac{3}{b^4} = \frac{2b^4 - 3a^7}{a^7 b^4}\);
7) \(a^{-2}b^{-1} + a^{-1}b^{-2} = \frac{1}{a^2 b} + \frac{1}{ab^2} = \frac{b + a}{a^2 b^2}\);
8) \(m^{-3}n^{-2} + m^{-2}n^{-3} = \frac{1}{m^3 n^2} + \frac{1}{m^2 n^3} = \frac{n + m}{m^3 n^3}\);
9) \[\begin{aligned} &(a + a^{-1})(b + b^{-1}) = \left(a + \frac{1}{a}\right)\left(b + \frac{1}{b}\right) = {} \\ &= \frac{a^2 + 1}{a} \cdot \frac{b^2 + 1}{b} = \frac{a^2 b^2 + a^2 + b^2 + 1}{ab}; \end{aligned}\]
10) \[\begin{aligned} &(m^2 + m^{-1})(n^2 + n^{-2}) = \left(m^2 + \frac{1}{m}\right)\left(n^2 + \frac{1}{n^2}\right) = {} \\ &= \frac{m^3 + 1}{m} \cdot \frac{n^4 + 1}{n^2} = \frac{m^3 n^4 + m^3 + n^4 + 1}{mn^2}; \end{aligned}\]
11) \[\begin{aligned} &(x^{-1} - y^{-1}) : (x^{-2} - y^{-2}) = \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right) : \left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}\right) = {} \\ &= \frac{y - x}{xy} : \frac{(y - x)(y + x)}{x^2 y^2} = \frac{y - x}{xy} \cdot \frac{x^2 y^2}{(y - x)(y + x)} = \frac{xy}{x + y}; \end{aligned}\]
12) \[\begin{aligned} &(a^{-2} - b^{-2}) : (a^{-1} - b^{-1}) = \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) : \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right) = {} \\ &= \frac{(b - a)(b + a)}{a^2 b^2} : \frac{b - a}{ab} = \frac{(b - a)(b + a)}{a^2 b^2} \cdot \frac{ab}{b - a} = \frac{b + a}{ab}. \end{aligned}\]
Каждое из полученных равенств верно при всех значениях переменных, при которых обе его части имеют смысл.
Ответ: 1) \(\frac{y^2 + x^3}{x^3 y^2}\); 2) \(\frac{y^3 + x^2}{x^2 y^3}\); 3) \(\frac{1 - c^5}{c^5}\); 4) \(\frac{d^6 - 1}{d^6}\); 5) \(\frac{x - zy^3}{y^5}\); 6) \(\frac{2b^4 - 3a^7}{a^7 b^4}\); 7) \(\frac{b + a}{a^2 b^2}\); 8) \(\frac{n + m}{m^3 n^3}\); 9) \(\frac{a^2 b^2 + a^2 + b^2 + 1}{ab}\); 10) \(\frac{m^3 n^4 + m^3 + n^4 + 1}{mn^2}\); 11) \(\frac{xy}{x + y}\); 12) \(\frac{b + a}{ab}\).
