Страница 46 номер 2.3.34, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Основания степеней разложим на простые множители, после чего применим свойства степени с целым показателем.

1) \(14^n = (2 \cdot 7)^n = 2^n \cdot 7^n\), поэтому \[\begin{aligned} &\frac{14^n}{2^{n-1}} : 7^{n+2} = \frac{2^n \cdot 7^n}{2^{n-1} \cdot 7^{n+2}} = {} \\ &= 2^{n - (n-1)} \cdot 7^{n - (n+2)} = 2 \cdot 7^{-2} = \frac{2}{49}; \end{aligned}\]

2) \(36^n = (2^2 \cdot 3^2)^n = 2^{2n} \cdot 3^{2n}\), поэтому \[\begin{aligned} &3^{2n-1} : \frac{36^n}{2^{2n+3}} = 3^{2n-1} \cdot \frac{2^{2n+3}}{2^{2n} \cdot 3^{2n}} = {} \\ &= 2^{(2n+3) - 2n} \cdot 3^{(2n-1) - 2n} = 2^3 \cdot 3^{-1} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}; \end{aligned}\]

3) \(144^n = (2^4 \cdot 3^2)^n = 2^{4n} \cdot 3^{2n}\), \(12^{2n+1} = (2^2 \cdot 3)^{2n+1} = 2^{4n+2} \cdot 3^{2n+1}\), \(2^{2(n+1)} = 2^{2n+2}\), поэтому \[\begin{aligned} &\frac{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}}{144^n} \cdot \frac{12^{2n+1}}{2^{2(n+1)} \cdot 3^n} = \frac{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}}{2^{4n} \cdot 3^{2n}} \cdot \frac{2^{4n+2} \cdot 3^{2n+1}}{2^{2n+2} \cdot 3^n} = {} \\ &= \frac{2^{6n+1} \cdot 3^{3n+2}}{2^{6n+2} \cdot 3^{3n}} = 2^{(6n+1) - (6n+2)} \cdot 3^{(3n+2) - 3n} = 2^{-1} \cdot 3^2 = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}; \end{aligned}\]

4) \(100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n}\), \(10^{2n+1} = (2 \cdot 5)^{2n+1} = 2^{2n+1} \cdot 5^{2n+1}\), поэтому \[\begin{aligned} &\frac{100^n}{2^{2n+1} \cdot 5^{2n-1}} : \frac{10^{2n+1}}{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}} = {} \\ &= \frac{2^{2n} \cdot 5^{2n}}{2^{2n+1} \cdot 5^{2n-1}} \cdot \frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{2^{2n+1} \cdot 5^{2n+1}} = \frac{2^{4n-1} \cdot 5^{4n+1}}{2^{4n+2} \cdot 5^{4n}} = {} \\ &= 2^{(4n-1) - (4n+2)} \cdot 5^{(4n+1) - 4n} = 2^{-3} \cdot 5 = \frac{5}{8}. \end{aligned}\]

Ни одно из полученных чисел не содержит \(n\), то есть значение каждого выражения одно и то же при любом целом \(n\).

Ответ: 1) \(\frac{2}{49}\); 2) \(2\frac{2}{3}\); 3) \(4\frac{1}{2}\); 4) \(\frac{5}{8}\).