Страница 42 номер 2.3.16, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Представить в виде алгебраической дроби выражение: 1) \(\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\); 2) \(\frac{2}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}\); 3) \(\frac{1 - \frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + 1}\); 4) \(\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}\).
1) \[\begin{aligned} &\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{1 \cdot ab}{\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)ab} = \frac{ab}{\frac{1}{a} \cdot ab + \frac{1}{b} \cdot ab} = {} \\ &= \frac{ab}{b + a} = \frac{ab}{a + b}. \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &\frac{2}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{2 \cdot ab}{\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)ab} = \frac{2ab}{\frac{1}{a} \cdot ab - \frac{1}{b} \cdot ab} = {} \\ &= \frac{2ab}{b - a}. \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &\frac{1 - \frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + 1} = \frac{\left(1 - \frac{1}{x}\right)x}{\left(\frac{1}{x} + 1\right)x} = {} \\ &= \frac{x - 1}{1 + x} = \frac{x - 1}{x + 1}. \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right)x^2}{\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)x^2} = \frac{x^2 + x}{x^2 - 1} = {} \\ &= \frac{x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x}{x - 1}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\frac{ab}{a + b}\); 2) \(\frac{2ab}{b - a}\); 3) \(\frac{x - 1}{x + 1}\); 4) \(\frac{x}{x - 1}\).
Представить в виде алгебраической дроби выражение: 1) \(\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\); 2) \(\frac{2}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}\); 3) \(\frac{1 - \frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + 1}\); 4) \(\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}\).
Умножаем числитель и знаменатель многоэтажной дроби на общий знаменатель входящих в неё дробей — по основному свойству дроби значение выражения при этом не меняется.
1) Числитель и знаменатель умножаем на \(ab\): \[\begin{aligned} &\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{1 \cdot ab}{\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)ab} = \frac{ab}{\frac{1}{a} \cdot ab + \frac{1}{b} \cdot ab} = {} \\ &= \frac{ab}{b + a} = \frac{ab}{a + b}. \end{aligned}\]
2) Числитель и знаменатель умножаем на \(ab\): \[\begin{aligned} &\frac{2}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{2 \cdot ab}{\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)ab} = \frac{2ab}{\frac{1}{a} \cdot ab - \frac{1}{b} \cdot ab} = {} \\ &= \frac{2ab}{b - a}. \end{aligned}\]
3) Числитель и знаменатель умножаем на \(x\): \[\begin{aligned} &\frac{1 - \frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + 1} = \frac{\left(1 - \frac{1}{x}\right)x}{\left(\frac{1}{x} + 1\right)x} = {} \\ &= \frac{x - 1}{1 + x} = \frac{x - 1}{x + 1}. \end{aligned}\]
4) Числитель и знаменатель умножаем на \(x^2\): \[\begin{aligned} &\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right)x^2}{\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)x^2} = \frac{x^2 + x}{x^2 - 1} = {} \\ &= \frac{x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x}{x - 1}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\frac{ab}{a + b}\); 2) \(\frac{2ab}{b - a}\); 3) \(\frac{x - 1}{x + 1}\); 4) \(\frac{x}{x - 1}\).
