Страница 37 номер 2.2.59, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что: 1) \(x - y + y^2 - x^2 = (x - y)(1 - x - y)\); 2) \(a^2 - b^2 + 5a + 5b = (a + b)(a - b + 5)\); 3) \(27a^3 + b^3 + 9a^2 + 6ab + b^2 = (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2 + 3a + b)\); 4) \(8m^3 - n^3 + 4m^2 - 4mn + n^2 = (2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2 + 2m - n)\).
1) \[x - y + y^2 - x^2 = (x - y) - (x^2 - y^2) = (x - y) - (x - y)(x + y) = (x - y)(1 - x - y);\]
2) \[a^2 - b^2 + 5a + 5b = (a - b)(a + b) + 5(a + b) = (a + b)(a - b + 5);\]
3) \[\begin{aligned} &27a^3 + b^3 + 9a^2 + 6ab + b^2 = {} \\ &= ((3a)^3 + b^3) + ((3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot b + b^2) = {} \\ &= (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2) + (3a + b)^2 = {} \\ &= (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2 + 3a + b); \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &8m^3 - n^3 + 4m^2 - 4mn + n^2 = {} \\ &= ((2m)^3 - n^3) + ((2m)^2 - 2 \cdot 2m \cdot n + n^2) = {} \\ &= (2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2) + (2m - n)^2 = {} \\ &= (2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2 + 2m - n). \end{aligned}\]
Левая часть каждого равенства тождественно равна правой, значит, все четыре равенства — тождества.
Ответ: каждое из равенств 1)—4) — тождество.
Доказать, что: 1) \(x - y + y^2 - x^2 = (x - y)(1 - x - y)\); 2) \(a^2 - b^2 + 5a + 5b = (a + b)(a - b + 5)\); 3) \(27a^3 + b^3 + 9a^2 + 6ab + b^2 = (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2 + 3a + b)\); 4) \(8m^3 - n^3 + 4m^2 - 4mn + n^2 = (2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2 + 2m - n)\).
В каждом равенстве разложим на множители левую часть.
1) \[x - y + y^2 - x^2 = (x - y) - (x^2 - y^2) = (x - y) - (x - y)(x + y) = (x - y)(1 - x - y);\]
2) \[a^2 - b^2 + 5a + 5b = (a - b)(a + b) + 5(a + b) = (a + b)(a - b + 5);\]
3) \[\begin{aligned} &27a^3 + b^3 + 9a^2 + 6ab + b^2 = {} \\ &= ((3a)^3 + b^3) + ((3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot b + b^2) = {} \\ &= (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2) + (3a + b)^2 = {} \\ &= (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2 + 3a + b); \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &8m^3 - n^3 + 4m^2 - 4mn + n^2 = {} \\ &= ((2m)^3 - n^3) + ((2m)^2 - 2 \cdot 2m \cdot n + n^2) = {} \\ &= (2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2) + (2m - n)^2 = {} \\ &= (2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2 + 2m - n). \end{aligned}\]
Левая часть каждого из четырёх равенств тождественно равна его правой части, значит, все эти равенства — тождества.
Ответ: каждое из равенств 1)—4) — тождество.
