Страница 37 номер 2.2.60, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Разложить на множители (2.2.60—2.2.62): 1) \(2x^4 - 20x^2y + 50y^2 - 8\); 2) \(3m^6 + 12m^3n^2 + 12n^4 - 27\); 3) \((x^2 + 4y^2)^3 - 16x^2y^2(x^2 + 4y^2)\); 4) \(24a^2b^2(2a^2 + 3b^2) - (2a^2 + 3b^2)^3\).
1) \[\begin{aligned} &2x^4 - 20x^2y + 50y^2 - 8 = 2(x^4 - 10x^2y + 25y^2 - 4) = {} \\ &= 2((x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 5y + (5y)^2 - 2^2) = 2((x^2 - 5y)^2 - 2^2) = {} \\ &= 2(x^2 - 5y - 2)(x^2 - 5y + 2); \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &3m^6 + 12m^3n^2 + 12n^4 - 27 = 3(m^6 + 4m^3n^2 + 4n^4 - 9) = {} \\ &= 3((m^3)^2 + 2 \cdot m^3 \cdot 2n^2 + (2n^2)^2 - 3^2) = 3((m^3 + 2n^2)^2 - 3^2) = {} \\ &= 3(m^3 + 2n^2 - 3)(m^3 + 2n^2 + 3); \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &(x^2 + 4y^2)^3 - 16x^2y^2(x^2 + 4y^2) = {} \\ &= (x^2 + 4y^2)((x^2 + 4y^2)^2 - (4xy)^2) = {} \\ &= (x^2 + 4y^2)(x^2 - 4xy + 4y^2)(x^2 + 4xy + 4y^2) = {} \\ &= (x^2 + 4y^2)(x - 2y)^2(x + 2y)^2; \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &24a^2b^2(2a^2 + 3b^2) - (2a^2 + 3b^2)^3 = {} \\ &= (2a^2 + 3b^2)(24a^2b^2 - (2a^2 + 3b^2)^2) = {} \\ &= (2a^2 + 3b^2)(24a^2b^2 - 4a^4 - 12a^2b^2 - 9b^4) = {} \\ &= -(2a^2 + 3b^2)(4a^4 - 12a^2b^2 + 9b^4) = -(2a^2 + 3b^2)(2a^2 - 3b^2)^2. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(2(x^2 - 5y - 2)(x^2 - 5y + 2)\); 2) \(3(m^3 + 2n^2 - 3)(m^3 + 2n^2 + 3)\); 3) \((x^2 + 4y^2)(x - 2y)^2(x + 2y)^2\); 4) \(-(2a^2 + 3b^2)(2a^2 - 3b^2)^2\).
Разложить на множители (2.2.60—2.2.62): 1) \(2x^4 - 20x^2y + 50y^2 - 8\); 2) \(3m^6 + 12m^3n^2 + 12n^4 - 27\); 3) \((x^2 + 4y^2)^3 - 16x^2y^2(x^2 + 4y^2)\); 4) \(24a^2b^2(2a^2 + 3b^2) - (2a^2 + 3b^2)^3\).
В каждом пункте вынесем за скобки общий множитель и применим формулы сокращённого умножения.
1) \[\begin{aligned} &2x^4 - 20x^2y + 50y^2 - 8 = 2(x^4 - 10x^2y + 25y^2 - 4) = {} \\ &= 2((x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 5y + (5y)^2 - 2^2) = 2((x^2 - 5y)^2 - 2^2) = {} \\ &= 2(x^2 - 5y - 2)(x^2 - 5y + 2); \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &3m^6 + 12m^3n^2 + 12n^4 - 27 = 3(m^6 + 4m^3n^2 + 4n^4 - 9) = {} \\ &= 3((m^3)^2 + 2 \cdot m^3 \cdot 2n^2 + (2n^2)^2 - 3^2) = 3((m^3 + 2n^2)^2 - 3^2) = {} \\ &= 3(m^3 + 2n^2 - 3)(m^3 + 2n^2 + 3); \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &(x^2 + 4y^2)^3 - 16x^2y^2(x^2 + 4y^2) = {} \\ &= (x^2 + 4y^2)((x^2 + 4y^2)^2 - (4xy)^2) = {} \\ &= (x^2 + 4y^2)(x^2 - 4xy + 4y^2)(x^2 + 4xy + 4y^2) = {} \\ &= (x^2 + 4y^2)(x - 2y)^2(x + 2y)^2; \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &24a^2b^2(2a^2 + 3b^2) - (2a^2 + 3b^2)^3 = {} \\ &= (2a^2 + 3b^2)(24a^2b^2 - (2a^2 + 3b^2)^2) = {} \\ &= (2a^2 + 3b^2)(24a^2b^2 - 4a^4 - 12a^2b^2 - 9b^4) = {} \\ &= -(2a^2 + 3b^2)(4a^4 - 12a^2b^2 + 9b^4) = -(2a^2 + 3b^2)(2a^2 - 3b^2)^2. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(2(x^2 - 5y - 2)(x^2 - 5y + 2)\); 2) \(3(m^3 + 2n^2 - 3)(m^3 + 2n^2 + 3)\); 3) \((x^2 + 4y^2)(x - 2y)^2(x + 2y)^2\); 4) \(-(2a^2 + 3b^2)(2a^2 - 3b^2)^2\).
