Страница 37 номер 2.2.57, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

В каждом двучлене показатели степеней делятся и на 2, и на 3, поэтому его можно представить и разностью квадратов, и разностью кубов — отсюда два способа разложения.

1) Первый способ — разность квадратов:
\[\begin{aligned} &x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3) = {} \\ &= (x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2). \end{aligned}\]
Второй способ — разность кубов:
\[\begin{aligned} &x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4) = {} \\ &= (x - y)(x + y)(x^4 + x^2y^2 + y^4). \end{aligned}\]
Трёхчлен \(x^4 + x^2y^2 + y^4\) дополним до квадрата суммы:
\[\begin{aligned} &x^4 + x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = {} \\ &= (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2). \end{aligned}\]
Оба способа дали одно и то же разложение.

2) Первый способ — разность квадратов:
\[\begin{aligned} &a^{12} - b^6 = (a^6)^2 - (b^3)^2 = (a^6 - b^3)(a^6 + b^3) = {} \\ &= (a^2 - b)(a^4 + a^2b + b^2)(a^2 + b)(a^4 - a^2b + b^2). \end{aligned}\]
Второй способ — разность кубов:
\[\begin{aligned} &a^{12} - b^6 = (a^4)^3 - (b^2)^3 = (a^4 - b^2)(a^8 + a^4b^2 + b^4) = {} \\ &= (a^2 - b)(a^2 + b)(a^8 + a^4b^2 + b^4). \end{aligned}\]
Трёхчлен \(a^8 + a^4b^2 + b^4\) дополним до квадрата суммы:
\[\begin{aligned} &a^8 + a^4b^2 + b^4 = a^8 + 2a^4b^2 + b^4 - a^4b^2 = {} \\ &= (a^4 + b^2)^2 - (a^2b)^2 = (a^4 - a^2b + b^2)(a^4 + a^2b + b^2). \end{aligned}\]
Оба способа дали одно и то же разложение.

3) Первый способ — разность квадратов:
\[\begin{aligned} &m^6 - n^{18} = (m^3)^2 - (n^9)^2 = (m^3 - n^9)(m^3 + n^9) = {} \\ &= (m - n^3)(m^2 + mn^3 + n^6)(m + n^3)(m^2 - mn^3 + n^6). \end{aligned}\]
Второй способ — разность кубов:
\[\begin{aligned} &m^6 - n^{18} = (m^2)^3 - (n^6)^3 = (m^2 - n^6)(m^4 + m^2n^6 + n^{12}) = {} \\ &= (m - n^3)(m + n^3)(m^4 + m^2n^6 + n^{12}). \end{aligned}\]
Трёхчлен \(m^4 + m^2n^6 + n^{12}\) дополним до квадрата суммы:
\[\begin{aligned} &m^4 + m^2n^6 + n^{12} = m^4 + 2m^2n^6 + n^{12} - m^2n^6 = {} \\ &= (m^2 + n^6)^2 - (mn^3)^2 = (m^2 - mn^3 + n^6)(m^2 + mn^3 + n^6). \end{aligned}\]
Оба способа дали одно и то же разложение.

4) Первый способ — разность квадратов:
\[\begin{aligned} &64p^6 - q^{18} = (8p^3)^2 - (q^9)^2 = (8p^3 - q^9)(8p^3 + q^9) = {} \\ &= (2p - q^3)(4p^2 + 2pq^3 + q^6)(2p + q^3)(4p^2 - 2pq^3 + q^6). \end{aligned}\]
Второй способ — разность кубов:
\[\begin{aligned} &64p^6 - q^{18} = (4p^2)^3 - (q^6)^3 = (4p^2 - q^6)(16p^4 + 4p^2q^6 + q^{12}) = {} \\ &= (2p - q^3)(2p + q^3)(16p^4 + 4p^2q^6 + q^{12}). \end{aligned}\]
Трёхчлен \(16p^4 + 4p^2q^6 + q^{12}\) дополним до квадрата суммы:
\[\begin{aligned} &16p^4 + 4p^2q^6 + q^{12} = 16p^4 + 8p^2q^6 + q^{12} - 4p^2q^6 = {} \\ &= (4p^2 + q^6)^2 - (2pq^3)^2 = (4p^2 - 2pq^3 + q^6)(4p^2 + 2pq^3 + q^6). \end{aligned}\]
Оба способа дали одно и то же разложение.

Ответ: оба способа приводят к одному разложению: 1) \((x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)\); 2) \((a^2 - b)(a^2 + b)(a^4 + a^2b + b^2)(a^4 - a^2b + b^2)\); 3) \((m - n^3)(m + n^3)(m^2 + mn^3 + n^6)(m^2 - mn^3 + n^6)\); 4) \((2p - q^3)(2p + q^3)(4p^2 + 2pq^3 + q^6)(4p^2 - 2pq^3 + q^6)\).