Страница 36 номер 2.2.56, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Разложить на множители: 1) \(x^6 - y^3\); 2) \(a^{12} + b^{15}\); 3) \(a^3b^6 - c^6d^9\); 4) \(8x^6y^{12} - p^3q^9\); 5) \(27x^3 - (x - y)^3\); 6) \((a + b)^3 - 64a^3\).
1) \(x^6 - y^3 = (x^2)^3 - y^3 = (x^2 - y)(x^4 + x^2y + y^2)\);
2) \(a^{12} + b^{15} = (a^4)^3 + (b^5)^3 = (a^4 + b^5)(a^8 - a^4b^5 + b^{10})\);
3) \(a^3b^6 - c^6d^9 = (ab^2)^3 - (c^2d^3)^3 = (ab^2 - c^2d^3)(a^2b^4 + ab^2c^2d^3 + c^4d^6)\);
4) \(8x^6y^{12} - p^3q^9 = (2x^2y^4)^3 - (pq^3)^3 = (2x^2y^4 - pq^3)(4x^4y^8 + 2pq^3x^2y^4 + p^2q^6)\);
5) \[\begin{aligned} &27x^3 - (x - y)^3 = (3x)^3 - (x - y)^3 = {} \\ &= (3x - x + y)((3x)^2 + 3x(x - y) + (x - y)^2) = {} \\ &= (2x + y)(9x^2 + 3x^2 - 3xy + x^2 - 2xy + y^2) = {} \\ &= (2x + y)(13x^2 - 5xy + y^2); \end{aligned}\]
6) \[\begin{aligned} &(a + b)^3 - 64a^3 = (a + b)^3 - (4a)^3 = {} \\ &= (a + b - 4a)((a + b)^2 + (a + b) \cdot 4a + (4a)^2) = {} \\ &= (b - 3a)(a^2 + 2ab + b^2 + 4a^2 + 4ab + 16a^2) = {} \\ &= (b - 3a)(21a^2 + 6ab + b^2). \end{aligned}\]
Ответ: 1) \((x^2 - y)(x^4 + x^2y + y^2)\); 2) \((a^4 + b^5)(a^8 - a^4b^5 + b^{10})\); 3) \((ab^2 - c^2d^3)(a^2b^4 + ab^2c^2d^3 + c^4d^6)\); 4) \((2x^2y^4 - pq^3)(4x^4y^8 + 2pq^3x^2y^4 + p^2q^6)\); 5) \((2x + y)(13x^2 - 5xy + y^2)\); 6) \((b - 3a)(21a^2 + 6ab + b^2)\).
Разложить на множители: 1) \(x^6 - y^3\); 2) \(a^{12} + b^{15}\); 3) \(a^3b^6 - c^6d^9\); 4) \(8x^6y^{12} - p^3q^9\); 5) \(27x^3 - (x - y)^3\); 6) \((a + b)^3 - 64a^3\).
Представим каждый двучлен в виде суммы или разности кубов двух выражений и применим формулы \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) и \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).
1) \(x^6 - y^3 = (x^2)^3 - y^3 = (x^2 - y)(x^4 + x^2y + y^2)\);
2) \(a^{12} + b^{15} = (a^4)^3 + (b^5)^3 = (a^4 + b^5)(a^8 - a^4b^5 + b^{10})\);
3) \(a^3b^6 - c^6d^9 = (ab^2)^3 - (c^2d^3)^3 = (ab^2 - c^2d^3)(a^2b^4 + ab^2c^2d^3 + c^4d^6)\);
4) \(8x^6y^{12} - p^3q^9 = (2x^2y^4)^3 - (pq^3)^3 = (2x^2y^4 - pq^3)(4x^4y^8 + 2pq^3x^2y^4 + p^2q^6)\);
5) \[\begin{aligned} &27x^3 - (x - y)^3 = (3x)^3 - (x - y)^3 = {} \\ &= (3x - x + y)((3x)^2 + 3x(x - y) + (x - y)^2) = {} \\ &= (2x + y)(9x^2 + 3x^2 - 3xy + x^2 - 2xy + y^2) = {} \\ &= (2x + y)(13x^2 - 5xy + y^2); \end{aligned}\]
6) \[\begin{aligned} &(a + b)^3 - 64a^3 = (a + b)^3 - (4a)^3 = {} \\ &= (a + b - 4a)((a + b)^2 + (a + b) \cdot 4a + (4a)^2) = {} \\ &= (b - 3a)(a^2 + 2ab + b^2 + 4a^2 + 4ab + 16a^2) = {} \\ &= (b - 3a)(21a^2 + 6ab + b^2). \end{aligned}\]
Ответ: 1) \((x^2 - y)(x^4 + x^2y + y^2)\); 2) \((a^4 + b^5)(a^8 - a^4b^5 + b^{10})\); 3) \((ab^2 - c^2d^3)(a^2b^4 + ab^2c^2d^3 + c^4d^6)\); 4) \((2x^2y^4 - pq^3)(4x^4y^8 + 2pq^3x^2y^4 + p^2q^6)\); 5) \((2x + y)(13x^2 - 5xy + y^2)\); 6) \((b - 3a)(21a^2 + 6ab + b^2)\).
