Страница 36 номер 2.2.55, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Возвести в куб: 1) \((2a^2 + b)^3\); 2) \((a - 2b^2)^3\); 3) \(\left(\frac{m^2}{3} - n^3\right)^3\); 4) \(\left(m^2 + \frac{n^2}{3}\right)^3\); 5) \((a^n + b^n)^3\); 6) \((a^{n-2} - b^{n+2})^3\).
1) \[\begin{aligned} &(2a^2 + b)^3 = (2a^2)^3 + 3(2a^2)^2b + 3 \cdot 2a^2 \cdot b^2 + b^3 = {} \\ &= 8a^6 + 12a^4b + 6a^2b^2 + b^3. \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &(a - 2b^2)^3 = a^3 - 3a^2 \cdot 2b^2 + 3a(2b^2)^2 - (2b^2)^3 = {} \\ &= a^3 - 6a^2b^2 + 12ab^4 - 8b^6. \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &\left(\frac{m^2}{3} - n^3\right)^3 = \left(\frac{m^2}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{m^2}{3}\right)^2n^3 + 3 \cdot \frac{m^2}{3} \cdot (n^3)^2 - (n^3)^3 = {} \\ &= \frac{m^6}{27} - \frac{m^4n^3}{3} + m^2n^6 - n^9. \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &\left(m^2 + \frac{n^2}{3}\right)^3 = (m^2)^3 + 3(m^2)^2 \cdot \frac{n^2}{3} + 3m^2\left(\frac{n^2}{3}\right)^2 + \left(\frac{n^2}{3}\right)^3 = {} \\ &= m^6 + m^4n^2 + \frac{m^2n^4}{3} + \frac{n^6}{27}. \end{aligned}\]
5) \[\begin{aligned} &(a^n + b^n)^3 = (a^n)^3 + 3(a^n)^2b^n + 3a^n(b^n)^2 + (b^n)^3 = {} \\ &= a^{3n} + 3a^{2n}b^n + 3a^nb^{2n} + b^{3n}. \end{aligned}\]
6) \[\begin{aligned} &(a^{n-2} - b^{n+2})^3 = (a^{n-2})^3 - 3(a^{n-2})^2b^{n+2} + 3a^{n-2}(b^{n+2})^2 - (b^{n+2})^3 = {} \\ &= a^{3n-6} - 3a^{2n-4}b^{n+2} + 3a^{n-2}b^{2n+4} - b^{3n+6}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(8a^6 + 12a^4b + 6a^2b^2 + b^3\); 2) \(a^3 - 6a^2b^2 + 12ab^4 - 8b^6\); 3) \(\frac{m^6}{27} - \frac{m^4n^3}{3} + m^2n^6 - n^9\); 4) \(m^6 + m^4n^2 + \frac{m^2n^4}{3} + \frac{n^6}{27}\); 5) \(a^{3n} + 3a^{2n}b^n + 3a^nb^{2n} + b^{3n}\); 6) \(a^{3n-6} - 3a^{2n-4}b^{n+2} + 3a^{n-2}b^{2n+4} - b^{3n+6}\).
Возвести в куб: 1) \((2a^2 + b)^3\); 2) \((a - 2b^2)^3\); 3) \(\left(\frac{m^2}{3} - n^3\right)^3\); 4) \(\left(m^2 + \frac{n^2}{3}\right)^3\); 5) \((a^n + b^n)^3\); 6) \((a^{n-2} - b^{n+2})^3\).
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения; в кубе разности второй и четвёртый члены берут со знаком минус.
1) \[\begin{aligned} &(2a^2 + b)^3 = (2a^2)^3 + 3(2a^2)^2b + 3 \cdot 2a^2 \cdot b^2 + b^3 = {} \\ &= 8a^6 + 12a^4b + 6a^2b^2 + b^3. \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &(a - 2b^2)^3 = a^3 - 3a^2 \cdot 2b^2 + 3a(2b^2)^2 - (2b^2)^3 = {} \\ &= a^3 - 6a^2b^2 + 12ab^4 - 8b^6. \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &\left(\frac{m^2}{3} - n^3\right)^3 = \left(\frac{m^2}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{m^2}{3}\right)^2n^3 + 3 \cdot \frac{m^2}{3} \cdot (n^3)^2 - (n^3)^3 = {} \\ &= \frac{m^6}{27} - \frac{m^4n^3}{3} + m^2n^6 - n^9. \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &\left(m^2 + \frac{n^2}{3}\right)^3 = (m^2)^3 + 3(m^2)^2 \cdot \frac{n^2}{3} + 3m^2\left(\frac{n^2}{3}\right)^2 + \left(\frac{n^2}{3}\right)^3 = {} \\ &= m^6 + m^4n^2 + \frac{m^2n^4}{3} + \frac{n^6}{27}. \end{aligned}\]
5) \[\begin{aligned} &(a^n + b^n)^3 = (a^n)^3 + 3(a^n)^2b^n + 3a^n(b^n)^2 + (b^n)^3 = {} \\ &= a^{3n} + 3a^{2n}b^n + 3a^nb^{2n} + b^{3n}. \end{aligned}\]
6) \[\begin{aligned} &(a^{n-2} - b^{n+2})^3 = (a^{n-2})^3 - 3(a^{n-2})^2b^{n+2} + 3a^{n-2}(b^{n+2})^2 - (b^{n+2})^3 = {} \\ &= a^{3n-6} - 3a^{2n-4}b^{n+2} + 3a^{n-2}b^{2n+4} - b^{3n+6}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(8a^6 + 12a^4b + 6a^2b^2 + b^3\); 2) \(a^3 - 6a^2b^2 + 12ab^4 - 8b^6\); 3) \(\frac{m^6}{27} - \frac{m^4n^3}{3} + m^2n^6 - n^9\); 4) \(m^6 + m^4n^2 + \frac{m^2n^4}{3} + \frac{n^6}{27}\); 5) \(a^{3n} + 3a^{2n}b^n + 3a^nb^{2n} + b^{3n}\); 6) \(a^{3n-6} - 3a^{2n-4}b^{n+2} + 3a^{n-2}b^{2n+4} - b^{3n+6}\).
