Страница 36 номер 2.2.53, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Разложить на множители: 1) \(a^6 + 4a^3b^2 + 4b^4 - c^2\); 2) \(x^4 - 6x^2y^3 + 9y^6 - 4z^2\); 3) \(\frac{x^8}{4} - x^4y^3 + y^6 - z^{10}\); 4) \(\frac{a^6}{4} + 2a^3b^3 + 4b^6 - 9c^8\).
1) \[\begin{aligned} &a^6 + 4a^3b^2 + 4b^4 - c^2 = \left((a^3)^2 + 2 \cdot a^3 \cdot 2b^2 + (2b^2)^2\right) - c^2 = {} \\ &= (a^3 + 2b^2)^2 - c^2 = (a^3 + 2b^2 - c)(a^3 + 2b^2 + c). \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &x^4 - 6x^2y^3 + 9y^6 - 4z^2 = \left((x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3y^3 + (3y^3)^2\right) - (2z)^2 = {} \\ &= (x^2 - 3y^3)^2 - (2z)^2 = (x^2 - 3y^3 - 2z)(x^2 - 3y^3 + 2z). \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &\frac{x^8}{4} - x^4y^3 + y^6 - z^{10} = \left(\left(\frac{x^4}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{x^4}{2} \cdot y^3 + (y^3)^2\right) - (z^5)^2 = {} \\ &= \left(\frac{x^4}{2} - y^3\right)^2 - (z^5)^2 = \left(\frac{x^4}{2} - y^3 - z^5\right)\left(\frac{x^4}{2} - y^3 + z^5\right). \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &\frac{a^6}{4} + 2a^3b^3 + 4b^6 - 9c^8 = \left(\left(\frac{a^3}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{a^3}{2} \cdot 2b^3 + (2b^3)^2\right) - (3c^4)^2 = {} \\ &= \left(\frac{a^3}{2} + 2b^3\right)^2 - (3c^4)^2 = \left(\frac{a^3}{2} + 2b^3 - 3c^4\right)\left(\frac{a^3}{2} + 2b^3 + 3c^4\right). \end{aligned}\]
Ответ: 1) \((a^3 + 2b^2 - c)(a^3 + 2b^2 + c)\); 2) \((x^2 - 3y^3 - 2z)(x^2 - 3y^3 + 2z)\); 3) \(\left(\frac{x^4}{2} - y^3 - z^5\right)\left(\frac{x^4}{2} - y^3 + z^5\right)\); 4) \(\left(\frac{a^3}{2} + 2b^3 - 3c^4\right)\left(\frac{a^3}{2} + 2b^3 + 3c^4\right)\).
Разложить на множители: 1) \(a^6 + 4a^3b^2 + 4b^4 - c^2\); 2) \(x^4 - 6x^2y^3 + 9y^6 - 4z^2\); 3) \(\frac{x^8}{4} - x^4y^3 + y^6 - z^{10}\); 4) \(\frac{a^6}{4} + 2a^3b^3 + 4b^6 - 9c^8\).
Первые три члена каждого многочлена свёртываются в квадрат двучлена, после чего многочлен становится разностью квадратов и раскладывается по формуле \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
1) \[\begin{aligned} &a^6 + 4a^3b^2 + 4b^4 - c^2 = \left((a^3)^2 + 2 \cdot a^3 \cdot 2b^2 + (2b^2)^2\right) - c^2 = {} \\ &= (a^3 + 2b^2)^2 - c^2 = (a^3 + 2b^2 - c)(a^3 + 2b^2 + c). \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &x^4 - 6x^2y^3 + 9y^6 - 4z^2 = \left((x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3y^3 + (3y^3)^2\right) - (2z)^2 = {} \\ &= (x^2 - 3y^3)^2 - (2z)^2 = (x^2 - 3y^3 - 2z)(x^2 - 3y^3 + 2z). \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &\frac{x^8}{4} - x^4y^3 + y^6 - z^{10} = \left(\left(\frac{x^4}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{x^4}{2} \cdot y^3 + (y^3)^2\right) - (z^5)^2 = {} \\ &= \left(\frac{x^4}{2} - y^3\right)^2 - (z^5)^2 = \left(\frac{x^4}{2} - y^3 - z^5\right)\left(\frac{x^4}{2} - y^3 + z^5\right). \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &\frac{a^6}{4} + 2a^3b^3 + 4b^6 - 9c^8 = \left(\left(\frac{a^3}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{a^3}{2} \cdot 2b^3 + (2b^3)^2\right) - (3c^4)^2 = {} \\ &= \left(\frac{a^3}{2} + 2b^3\right)^2 - (3c^4)^2 = \left(\frac{a^3}{2} + 2b^3 - 3c^4\right)\left(\frac{a^3}{2} + 2b^3 + 3c^4\right). \end{aligned}\]
Ответ: 1) \((a^3 + 2b^2 - c)(a^3 + 2b^2 + c)\); 2) \((x^2 - 3y^3 - 2z)(x^2 - 3y^3 + 2z)\); 3) \(\left(\frac{x^4}{2} - y^3 - z^5\right)\left(\frac{x^4}{2} - y^3 + z^5\right)\); 4) \(\left(\frac{a^3}{2} + 2b^3 - 3c^4\right)\left(\frac{a^3}{2} + 2b^3 + 3c^4\right)\).
