Страница 36 номер 2.2.51, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Разложить на множители: 1) \(a^2 + a + 0{,}25\); 2) \(\frac{x^2}{4} - x + 1\); 3) \(\frac{1}{2}m^2 - m + \frac{1}{2}\); 4) \(\frac{1}{8}n^2 + n + 2\); 5) \(12x^6 - 9 - 4x^{12}\); 6) \(3xy - \frac{9}{4}x^2 - y^2\); 7) \(2a^8 - 24a^4b^3 + 72b^6\); 8) \(3a^{10} - 30a^5b^7 + 75b^{14}\).
1) \(a^2 + a + 0{,}25 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 0{,}5 + 0{,}5^2 = (a + 0{,}5)^2\);
2) \(\frac{x^2}{4} - x + 1 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1 + 1^2 = \left(\frac{x}{2} - 1\right)^2\);
3) \(\frac{1}{2}m^2 - m + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(m^2 - 2m + 1) = \frac{1}{2}(m - 1)^2\);
4) \(\frac{1}{8}n^2 + n + 2 = \frac{1}{8}(n^2 + 8n + 16) = \frac{1}{8}(n + 4)^2\);
5) \[\begin{aligned} &12x^6 - 9 - 4x^{12} = -(4x^{12} - 12x^6 + 9) = {} \\ &= -\left((2x^6)^2 - 2 \cdot 2x^6 \cdot 3 + 3^2\right) = -(2x^6 - 3)^2. \end{aligned}\]
6) \[\begin{aligned} &3xy - \frac{9}{4}x^2 - y^2 = -\left(\frac{9}{4}x^2 - 3xy + y^2\right) = {} \\ &= -\frac{1}{4}(9x^2 - 12xy + 4y^2) = -\frac{1}{4}\left((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2\right) = {} \\ &= -\frac{1}{4}(3x - 2y)^2. \end{aligned}\]
7) \[\begin{aligned} &2a^8 - 24a^4b^3 + 72b^6 = 2(a^8 - 12a^4b^3 + 36b^6) = {} \\ &= 2\left((a^4)^2 - 2 \cdot a^4 \cdot 6b^3 + (6b^3)^2\right) = 2(a^4 - 6b^3)^2. \end{aligned}\]
8) \[\begin{aligned} &3a^{10} - 30a^5b^7 + 75b^{14} = 3(a^{10} - 10a^5b^7 + 25b^{14}) = {} \\ &= 3\left((a^5)^2 - 2 \cdot a^5 \cdot 5b^7 + (5b^7)^2\right) = 3(a^5 - 5b^7)^2. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \((a + 0{,}5)^2\); 2) \(\left(\frac{x}{2} - 1\right)^2\); 3) \(\frac{1}{2}(m - 1)^2\); 4) \(\frac{1}{8}(n + 4)^2\); 5) \(-(2x^6 - 3)^2\); 6) \(-\frac{1}{4}(3x - 2y)^2\); 7) \(2(a^4 - 6b^3)^2\); 8) \(3(a^5 - 5b^7)^2\).
Разложить на множители: 1) \(a^2 + a + 0{,}25\); 2) \(\frac{x^2}{4} - x + 1\); 3) \(\frac{1}{2}m^2 - m + \frac{1}{2}\); 4) \(\frac{1}{8}n^2 + n + 2\); 5) \(12x^6 - 9 - 4x^{12}\); 6) \(3xy - \frac{9}{4}x^2 - y^2\); 7) \(2a^8 - 24a^4b^3 + 72b^6\); 8) \(3a^{10} - 30a^5b^7 + 75b^{14}\).
Трёхчлен \(a^2 + 2ab + b^2\) равен квадрату суммы \((a + b)^2\), а трёхчлен \(a^2 - 2ab + b^2\) — квадрату разности \((a - b)^2\). Там, где коэффициенты трёхчлена сразу не дают квадратов, за скобки предварительно выносится общий множитель.
1) \(a^2 + a + 0{,}25 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 0{,}5 + 0{,}5^2 = (a + 0{,}5)^2\);
2) \(\frac{x^2}{4} - x + 1 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1 + 1^2 = \left(\frac{x}{2} - 1\right)^2\);
3) \(\frac{1}{2}m^2 - m + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(m^2 - 2m + 1) = \frac{1}{2}(m - 1)^2\);
4) \(\frac{1}{8}n^2 + n + 2 = \frac{1}{8}(n^2 + 8n + 16) = \frac{1}{8}(n + 4)^2\);
5) \[\begin{aligned} &12x^6 - 9 - 4x^{12} = -(4x^{12} - 12x^6 + 9) = {} \\ &= -\left((2x^6)^2 - 2 \cdot 2x^6 \cdot 3 + 3^2\right) = -(2x^6 - 3)^2. \end{aligned}\]
6) \[\begin{aligned} &3xy - \frac{9}{4}x^2 - y^2 = -\left(\frac{9}{4}x^2 - 3xy + y^2\right) = {} \\ &= -\frac{1}{4}(9x^2 - 12xy + 4y^2) = -\frac{1}{4}\left((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2\right) = {} \\ &= -\frac{1}{4}(3x - 2y)^2. \end{aligned}\]
7) \[\begin{aligned} &2a^8 - 24a^4b^3 + 72b^6 = 2(a^8 - 12a^4b^3 + 36b^6) = {} \\ &= 2\left((a^4)^2 - 2 \cdot a^4 \cdot 6b^3 + (6b^3)^2\right) = 2(a^4 - 6b^3)^2. \end{aligned}\]
8) \[\begin{aligned} &3a^{10} - 30a^5b^7 + 75b^{14} = 3(a^{10} - 10a^5b^7 + 25b^{14}) = {} \\ &= 3\left((a^5)^2 - 2 \cdot a^5 \cdot 5b^7 + (5b^7)^2\right) = 3(a^5 - 5b^7)^2. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \((a + 0{,}5)^2\); 2) \(\left(\frac{x}{2} - 1\right)^2\); 3) \(\frac{1}{2}(m - 1)^2\); 4) \(\frac{1}{8}(n + 4)^2\); 5) \(-(2x^6 - 3)^2\); 6) \(-\frac{1}{4}(3x - 2y)^2\); 7) \(2(a^4 - 6b^3)^2\); 8) \(3(a^5 - 5b^7)^2\).
