Страница 35 номер 2.2.46, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Разложить на множители двумя способами: 1) \(m^2 - mq - mn + mp + nq - np\); 2) \(mn - n^2 + pn - mq + nq - pq\); 3) \(ax + ay + x^2 + xy - bx - by\); 4) \(ab - ad + b^2 - bd - bc + cd\).
1) Первый способ — три группы по два члена:
\[\begin{aligned} &m^2 - mq - mn + mp + nq - np = (m^2 - mn) + (nq - mq) + (mp - np) = {} \\ &= m(m - n) - q(m - n) + p(m - n) = (m - n)(m - q + p). \end{aligned}\]
Второй способ — две группы по три члена:
\[\begin{aligned} &m^2 - mq - mn + mp + nq - np = (m^2 - mq + mp) + (nq - mn - np) = {} \\ &= m(m - q + p) - n(m - q + p) = (m - q + p)(m - n). \end{aligned}\]
2) Первый способ:
\[\begin{aligned} &mn - n^2 + pn - mq + nq - pq = (mn - mq) + (nq - n^2) + (pn - pq) = {} \\ &= m(n - q) - n(n - q) + p(n - q) = (n - q)(m - n + p). \end{aligned}\]
Второй способ:
\[\begin{aligned} &mn - n^2 + pn - mq + nq - pq = (mn - n^2 + pn) + (nq - mq - pq) = {} \\ &= n(m - n + p) - q(m - n + p) = (m - n + p)(n - q). \end{aligned}\]
3) Первый способ:
\[\begin{aligned} &ax + ay + x^2 + xy - bx - by = (ax + ay) + (x^2 + xy) - (bx + by) = {} \\ &= a(x + y) + x(x + y) - b(x + y) = (x + y)(a + x - b). \end{aligned}\]
Второй способ:
\[\begin{aligned} &ax + ay + x^2 + xy - bx - by = (ax + x^2 - bx) + (ay + xy - by) = {} \\ &= x(a + x - b) + y(a + x - b) = (a + x - b)(x + y). \end{aligned}\]
4) Первый способ:
\[\begin{aligned} &ab - ad + b^2 - bd - bc + cd = (ab - ad) + (b^2 - bd) + (cd - bc) = {} \\ &= a(b - d) + b(b - d) - c(b - d) = (b - d)(a + b - c). \end{aligned}\]
Второй способ:
\[\begin{aligned} &ab - ad + b^2 - bd - bc + cd = (ab + b^2 - bc) + (cd - ad - bd) = {} \\ &= b(a + b - c) - d(a + b - c) = (a + b - c)(b - d). \end{aligned}\]
Ответ: 1) \((m - n)(m - q + p)\); 2) \((n - q)(m - n + p)\); 3) \((x + y)(a + x - b)\); 4) \((b - d)(a + b - c)\).
Разложить на множители двумя способами: 1) \(m^2 - mq - mn + mp + nq - np\); 2) \(mn - n^2 + pn - mq + nq - pq\); 3) \(ax + ay + x^2 + xy - bx - by\); 4) \(ab - ad + b^2 - bd - bc + cd\).
Члены многочлена группируют так, чтобы слагаемые каждой группы имели общий множитель; вынеся его в каждой группе, получают общий для всех групп многочлен, который тоже выносят за скобки. Здесь шесть членов можно разбить и на три группы по два члена, и на две группы по три члена.
1) Первый способ — три группы по два члена:
\[\begin{aligned} &m^2 - mq - mn + mp + nq - np = (m^2 - mn) + (nq - mq) + (mp - np) = {} \\ &= m(m - n) - q(m - n) + p(m - n) = (m - n)(m - q + p). \end{aligned}\]
Второй способ — две группы по три члена:
\[\begin{aligned} &m^2 - mq - mn + mp + nq - np = (m^2 - mq + mp) + (nq - mn - np) = {} \\ &= m(m - q + p) - n(m - q + p) = (m - q + p)(m - n). \end{aligned}\]
2) Первый способ — три группы по два члена:
\[\begin{aligned} &mn - n^2 + pn - mq + nq - pq = (mn - mq) + (nq - n^2) + (pn - pq) = {} \\ &= m(n - q) - n(n - q) + p(n - q) = (n - q)(m - n + p). \end{aligned}\]
Второй способ — две группы по три члена:
\[\begin{aligned} &mn - n^2 + pn - mq + nq - pq = (mn - n^2 + pn) + (nq - mq - pq) = {} \\ &= n(m - n + p) - q(m - n + p) = (m - n + p)(n - q). \end{aligned}\]
3) Первый способ — три группы по два члена:
\[\begin{aligned} &ax + ay + x^2 + xy - bx - by = (ax + ay) + (x^2 + xy) - (bx + by) = {} \\ &= a(x + y) + x(x + y) - b(x + y) = (x + y)(a + x - b). \end{aligned}\]
Второй способ — две группы по три члена:
\[\begin{aligned} &ax + ay + x^2 + xy - bx - by = (ax + x^2 - bx) + (ay + xy - by) = {} \\ &= x(a + x - b) + y(a + x - b) = (a + x - b)(x + y). \end{aligned}\]
4) Первый способ — три группы по два члена:
\[\begin{aligned} &ab - ad + b^2 - bd - bc + cd = (ab - ad) + (b^2 - bd) + (cd - bc) = {} \\ &= a(b - d) + b(b - d) - c(b - d) = (b - d)(a + b - c). \end{aligned}\]
Второй способ — две группы по три члена:
\[\begin{aligned} &ab - ad + b^2 - bd - bc + cd = (ab + b^2 - bc) + (cd - ad - bd) = {} \\ &= b(a + b - c) - d(a + b - c) = (a + b - c)(b - d). \end{aligned}\]
Ответ: 1) \((m - n)(m - q + p)\); 2) \((n - q)(m - n + p)\); 3) \((x + y)(a + x - b)\); 4) \((b - d)(a + b - c)\).
