Страница 35 номер 2.2.45, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Вынести за скобки общий множитель: 1) \(60x^7y^8z^5 - 48x^6y^9z^6 + 84x^8y^7z^4\); 2) \(-56a^5b^{12}c^8 - 72a^4b^{11}c^7 + 8a^3b^{10}c^7\); 3) \(a(a - b) + b(b - a) - c(a - b)^2 + d(b - a)^2\); 4) \(x(x - 5) - y(5 - x) + z(5 - x)^2 - (x - 5)^2\).
1) Наибольший общий делитель чисел 60, 48 и 84 равен 12, переменные \(x\), \(y\) и \(z\) входят в члены в степенях не ниже шестой, седьмой и четвёртой, поэтому за скобки выносится \(12x^6y^7z^4\):
\[60x^7y^8z^5 - 48x^6y^9z^6 + 84x^8y^7z^4 = 12x^6y^7z^4(5xyz - 4y^2z^2 + 7x^2);\]
2) наибольший общий делитель чисел 56, 72 и 8 равен 8, переменные \(a\), \(b\) и \(c\) входят в члены в степенях не ниже третьей, десятой и седьмой, поэтому за скобки выносится \(8a^3b^{10}c^7\):
\[-56a^5b^{12}c^8 - 72a^4b^{11}c^7 + 8a^3b^{10}c^7 = 8a^3b^{10}c^7(-7a^2b^2c - 9ab + 1);\]
3) \(b - a = -(a - b)\), поэтому \(b(b - a) = -b(a - b)\) и \((b - a)^2 = (a - b)^2\). Значит,
\[\begin{aligned} &a(a - b) + b(b - a) - c(a - b)^2 + d(b - a)^2 = {} \\ &= a(a - b) - b(a - b) - c(a - b)^2 + d(a - b)^2 = {} \\ &= (a - b)(a - b) - c(a - b)^2 + d(a - b)^2 = {} \\ &= (a - b)^2 - c(a - b)^2 + d(a - b)^2 = (a - b)^2(1 - c + d); \end{aligned}\]
4) \(5 - x = -(x - 5)\), поэтому \(-y(5 - x) = y(x - 5)\) и \((5 - x)^2 = (x - 5)^2\). Значит,
\[\begin{aligned} &x(x - 5) - y(5 - x) + z(5 - x)^2 - (x - 5)^2 = {} \\ &= x(x - 5) + y(x - 5) + z(x - 5)^2 - (x - 5)^2 = {} \\ &= (x - 5)(x + y + z(x - 5) - (x - 5)) = {} \\ &= (x - 5)(x + y + xz - 5z - x + 5) = (x - 5)(y + xz - 5z + 5). \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(12x^6y^7z^4(5xyz - 4y^2z^2 + 7x^2)\); 2) \(8a^3b^{10}c^7(-7a^2b^2c - 9ab + 1)\); 3) \((a - b)^2(1 - c + d)\); 4) \((x - 5)(y + xz - 5z + 5)\).
Вынести за скобки общий множитель: 1) \(60x^7y^8z^5 - 48x^6y^9z^6 + 84x^8y^7z^4\); 2) \(-56a^5b^{12}c^8 - 72a^4b^{11}c^7 + 8a^3b^{10}c^7\); 3) \(a(a - b) + b(b - a) - c(a - b)^2 + d(b - a)^2\); 4) \(x(x - 5) - y(5 - x) + z(5 - x)^2 - (x - 5)^2\).
Общий множитель выбирают так, чтобы у членов, оставшихся в скобках, не было общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих натуральных делителей, кроме 1. Поэтому в качестве коэффициента берут наибольший общий делитель коэффициентов, а каждую переменную — в наименьшей из встречающихся степеней.
1) Наибольший общий делитель чисел 60, 48 и 84 равен 12, переменные \(x\), \(y\) и \(z\) входят в члены в степенях не ниже шестой, седьмой и четвёртой, поэтому за скобки выносится одночлен \(12x^6y^7z^4\):
\[60x^7y^8z^5 - 48x^6y^9z^6 + 84x^8y^7z^4 = 12x^6y^7z^4(5xyz - 4y^2z^2 + 7x^2);\]
2) наибольший общий делитель чисел 56, 72 и 8 равен 8, переменные \(a\), \(b\) и \(c\) входят в члены в степенях не ниже третьей, десятой и седьмой, поэтому за скобки выносится одночлен \(8a^3b^{10}c^7\):
\[-56a^5b^{12}c^8 - 72a^4b^{11}c^7 + 8a^3b^{10}c^7 = 8a^3b^{10}c^7(-7a^2b^2c - 9ab + 1);\]
3) множители \(a - b\) и \(b - a\) отличаются только знаком: \(b - a = -(a - b)\), поэтому \(b(b - a) = -b(a - b)\) и \((b - a)^2 = (a - b)^2\). Значит,
\[\begin{aligned} &a(a - b) + b(b - a) - c(a - b)^2 + d(b - a)^2 = {} \\ &= a(a - b) - b(a - b) - c(a - b)^2 + d(a - b)^2 = {} \\ &= (a - b)(a - b) - c(a - b)^2 + d(a - b)^2 = {} \\ &= (a - b)^2 - c(a - b)^2 + d(a - b)^2 = (a - b)^2(1 - c + d); \end{aligned}\]
4) так же \(5 - x = -(x - 5)\), поэтому \(-y(5 - x) = y(x - 5)\) и \((5 - x)^2 = (x - 5)^2\). Значит,
\[\begin{aligned} &x(x - 5) - y(5 - x) + z(5 - x)^2 - (x - 5)^2 = {} \\ &= x(x - 5) + y(x - 5) + z(x - 5)^2 - (x - 5)^2 = {} \\ &= (x - 5)(x + y + z(x - 5) - (x - 5)) = {} \\ &= (x - 5)(x + y + xz - 5z - x + 5) = (x - 5)(y + xz - 5z + 5). \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(12x^6y^7z^4(5xyz - 4y^2z^2 + 7x^2)\); 2) \(8a^3b^{10}c^7(-7a^2b^2c - 9ab + 1)\); 3) \((a - b)^2(1 - c + d)\); 4) \((x - 5)(y + xz - 5z + 5)\).
