Страница 35 номер 2.2.47, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Разложить на множители трёхчлен второй степени: 1) \(10x^2 + 13x - 3\); 2) \(24x^2 + x - 3\); 3) \(8x^2 + 34x + 21\); 4) \(18x^2 - 33x + 5\).
1) \(D = 13^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 169 + 120 = 289\), \(\sqrt{D} = 17\), корни \(x_1 = \frac{-13 + 17}{2 \cdot 10} = \frac{1}{5}\) и \(x_2 = \frac{-13 - 17}{2 \cdot 10} = -\frac{3}{2}\), поэтому
\[\begin{aligned} &10x^2 + 13x - 3 = 10\left(x - \frac{1}{5}\right)\left(x + \frac{3}{2}\right) = {} \\ &= 5\left(x - \frac{1}{5}\right) \cdot 2\left(x + \frac{3}{2}\right) = (5x - 1)(2x + 3); \end{aligned}\]
2) \(D = 1^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-3) = 1 + 288 = 289\), \(\sqrt{D} = 17\), корни \(x_1 = \frac{-1 - 17}{2 \cdot 24} = -\frac{3}{8}\) и \(x_2 = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 24} = \frac{1}{3}\), поэтому
\[\begin{aligned} &24x^2 + x - 3 = 24\left(x + \frac{3}{8}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right) = {} \\ &= 8\left(x + \frac{3}{8}\right) \cdot 3\left(x - \frac{1}{3}\right) = (8x + 3)(3x - 1); \end{aligned}\]
3) \(D = 34^2 - 4 \cdot 8 \cdot 21 = 1156 - 672 = 484\), \(\sqrt{D} = 22\), корни \(x_1 = \frac{-34 + 22}{2 \cdot 8} = -\frac{3}{4}\) и \(x_2 = \frac{-34 - 22}{2 \cdot 8} = -\frac{7}{2}\), поэтому
\[\begin{aligned} &8x^2 + 34x + 21 = 8\left(x + \frac{3}{4}\right)\left(x + \frac{7}{2}\right) = {} \\ &= 4\left(x + \frac{3}{4}\right) \cdot 2\left(x + \frac{7}{2}\right) = (4x + 3)(2x + 7); \end{aligned}\]
4) \(D = (-33)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 5 = 1089 - 360 = 729\), \(\sqrt{D} = 27\), корни \(x_1 = \frac{33 + 27}{2 \cdot 18} = \frac{5}{3}\) и \(x_2 = \frac{33 - 27}{2 \cdot 18} = \frac{1}{6}\), поэтому
\[\begin{aligned} &18x^2 - 33x + 5 = 18\left(x - \frac{5}{3}\right)\left(x - \frac{1}{6}\right) = {} \\ &= 3\left(x - \frac{5}{3}\right) \cdot 6\left(x - \frac{1}{6}\right) = (3x - 5)(6x - 1). \end{aligned}\]
Ответ: 1) \((5x - 1)(2x + 3)\); 2) \((8x + 3)(3x - 1)\); 3) \((4x + 3)(2x + 7)\); 4) \((3x - 5)(6x - 1)\).
Разложить на множители трёхчлен второй степени: 1) \(10x^2 + 13x - 3\); 2) \(24x^2 + x - 3\); 3) \(8x^2 + 34x + 21\); 4) \(18x^2 - 33x + 5\).
Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни трёхчлена \(ax^2 + bx + c\), то \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\). Оба корня здесь дробные, поэтому старший коэффициент раскладывают на два множителя и каждый из них вносят в свою скобку.
1) \(D = 13^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 169 + 120 = 289\), \(\sqrt{D} = 17\), корни трёхчлена \(x_1 = \frac{-13 + 17}{2 \cdot 10} = \frac{1}{5}\) и \(x_2 = \frac{-13 - 17}{2 \cdot 10} = -\frac{3}{2}\), поэтому
\[\begin{aligned} &10x^2 + 13x - 3 = 10\left(x - \frac{1}{5}\right)\left(x + \frac{3}{2}\right) = {} \\ &= 5\left(x - \frac{1}{5}\right) \cdot 2\left(x + \frac{3}{2}\right) = (5x - 1)(2x + 3); \end{aligned}\]
2) \(D = 1^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-3) = 1 + 288 = 289\), \(\sqrt{D} = 17\), корни трёхчлена \(x_1 = \frac{-1 - 17}{2 \cdot 24} = -\frac{3}{8}\) и \(x_2 = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 24} = \frac{1}{3}\), поэтому
\[\begin{aligned} &24x^2 + x - 3 = 24\left(x + \frac{3}{8}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right) = {} \\ &= 8\left(x + \frac{3}{8}\right) \cdot 3\left(x - \frac{1}{3}\right) = (8x + 3)(3x - 1); \end{aligned}\]
3) \(D = 34^2 - 4 \cdot 8 \cdot 21 = 1156 - 672 = 484\), \(\sqrt{D} = 22\), корни трёхчлена \(x_1 = \frac{-34 + 22}{2 \cdot 8} = -\frac{3}{4}\) и \(x_2 = \frac{-34 - 22}{2 \cdot 8} = -\frac{7}{2}\), поэтому
\[\begin{aligned} &8x^2 + 34x + 21 = 8\left(x + \frac{3}{4}\right)\left(x + \frac{7}{2}\right) = {} \\ &= 4\left(x + \frac{3}{4}\right) \cdot 2\left(x + \frac{7}{2}\right) = (4x + 3)(2x + 7); \end{aligned}\]
4) \(D = (-33)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 5 = 1089 - 360 = 729\), \(\sqrt{D} = 27\), корни трёхчлена \(x_1 = \frac{33 + 27}{2 \cdot 18} = \frac{5}{3}\) и \(x_2 = \frac{33 - 27}{2 \cdot 18} = \frac{1}{6}\), поэтому
\[\begin{aligned} &18x^2 - 33x + 5 = 18\left(x - \frac{5}{3}\right)\left(x - \frac{1}{6}\right) = {} \\ &= 3\left(x - \frac{5}{3}\right) \cdot 6\left(x - \frac{1}{6}\right) = (3x - 5)(6x - 1). \end{aligned}\]
Ответ: 1) \((5x - 1)(2x + 3)\); 2) \((8x + 3)(3x - 1)\); 3) \((4x + 3)(2x + 7)\); 4) \((3x - 5)(6x - 1)\).
