Страница 35 номер 2.2.44, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти площадь фигуры, изображённой на рисунке 2.
1) Фигура — трапеция и примыкающий к ней снизу справа прямоугольник. Сторона \(b\) — вся правая сторона фигуры, высота прямоугольника равна \(n\), поэтому высота трапеции равна \(b - n\), а её основания — \(a\) и \(c + d\). Значит,
\[S = \frac{1}{2}(a + c + d)(b - n) + cn;\]
2) Фигура — трапеция, из которой снизу вырезан прямоугольник со сторонами \(m\) и \(n\). Боковая сторона \(b\) вертикальна и служит высотой трапеции, основания — \(a\) и \(c + m + d\). Значит,
\[S = \frac{1}{2}(a + c + m + d)b - mn = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}bc + \frac{1}{2}bm + \frac{1}{2}bd - mn;\]
3) Фигура — прямоугольник со сторонами \(a\) и \(d\), из которого сверху вырезан треугольник, а слева — половина круга. Основание треугольника — верхняя сторона без отрезков \(m\) и \(n\), то есть \(d - m - n\), а высота равна \(k\). Диаметр полукруга — левая сторона без отрезков \(b\) и \(c\), то есть \(a - b - c\), радиус равен \(\frac{a - b - c}{2}\), а площадь полукруга равна \(\frac{1}{2}\pi\left(\frac{a - b - c}{2}\right)^2 = \frac{\pi(a - b - c)^2}{8}\). Следовательно,
\[S = ad - \frac{1}{2}k(d - m - n) - \frac{\pi(a - b - c)^2}{8};\]
4) Фигура — прямоугольник со сторонами \(c\) и \(d\), к которому сверху пристроен треугольник, а снизу — половина круга. Основание треугольника — верхняя сторона прямоугольника без отрезков \(a\) и \(b\), то есть \(c - a - b\), а высота равна \(n\). Размер \(k\) отмерен от уровня стороны \(a\) до самой нижней точки полукруга, а высота прямоугольника равна \(d\), поэтому радиус полукруга равен \(k - d\). Следовательно,
\[S = cd + \frac{1}{2}(c - a - b)n + \frac{1}{2}\pi(k - d)^2.\]
Ответ: 1) \(S = \frac{1}{2}(a + c + d)(b - n) + cn\); 2) \(S = \frac{1}{2}(a + c + m + d)b - mn\); 3) \(S = ad - \frac{1}{2}k(d - m - n) - \frac{\pi(a - b - c)^2}{8}\); 4) \(S = cd + \frac{1}{2}(c - a - b)n + \frac{1}{2}\pi(k - d)^2\).
Найти площадь фигуры, изображённой на рисунке 2.
1) Фигура состоит из трапеции и прямоугольника, примыкающего к ней снизу справа. Сторона \(b\) — вся правая сторона фигуры, а прямоугольник имеет высоту \(n\), поэтому высота трапеции равна \(b - n\). Основания трапеции — верхняя сторона \(a\) и нижняя, состоящая из отрезков \(d\) и \(c\), то есть равная \(c + d\). Площадь трапеции равна \(\frac{1}{2}(a + c + d)(b - n)\), площадь прямоугольника равна \(cn\), поэтому
\[S = \frac{1}{2}(a + c + d)(b - n) + cn;\]
2) Фигура — трапеция, из которой снизу вырезан прямоугольник со сторонами \(m\) и \(n\). Боковая сторона \(b\) вертикальна и является высотой трапеции. Основания трапеции — верхняя сторона \(a\) и нижняя, состоящая из отрезков \(c\), \(m\) и \(d\), то есть равная \(c + m + d\). Значит,
\[S = \frac{1}{2}(a + c + m + d)b - mn = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}bc + \frac{1}{2}bm + \frac{1}{2}bd - mn;\]
3) Фигура — прямоугольник со сторонами \(a\) и \(d\), из которого сверху вырезан треугольник, а слева — половина круга. Основание треугольника — часть верхней стороны, оставшаяся без отрезков \(m\) и \(n\), то есть \(d - m - n\), а его высота равна \(k\), поэтому площадь треугольника равна \(\frac{1}{2}k(d - m - n)\). Диаметр полукруга — часть левой стороны, оставшаяся без отрезков \(b\) и \(c\), то есть \(a - b - c\), значит, радиус равен \(\frac{a - b - c}{2}\), а площадь полукруга равна \(\frac{1}{2}\pi\left(\frac{a - b - c}{2}\right)^2 = \frac{\pi(a - b - c)^2}{8}\). Следовательно,
\[S = ad - \frac{1}{2}k(d - m - n) - \frac{\pi(a - b - c)^2}{8};\]
4) Фигура — прямоугольник со сторонами \(c\) и \(d\), к которому сверху пристроен треугольник, а снизу — половина круга. Основание треугольника — часть верхней стороны прямоугольника, оставшаяся без отрезков \(a\) и \(b\), то есть \(c - a - b\), а его высота равна \(n\), поэтому площадь треугольника равна \(\frac{1}{2}(c - a - b)n\). Размер \(k\) отмерен от уровня стороны \(a\) до самой нижней точки полукруга, а высота прямоугольника равна \(d\), поэтому радиус полукруга равен \(k - d\), а его площадь равна \(\frac{1}{2}\pi(k - d)^2\). Следовательно,
\[S = cd + \frac{1}{2}(c - a - b)n + \frac{1}{2}\pi(k - d)^2.\]
Ответ: 1) \(S = \frac{1}{2}(a + c + d)(b - n) + cn\); 2) \(S = \frac{1}{2}(a + c + m + d)b - mn\); 3) \(S = ad - \frac{1}{2}k(d - m - n) - \frac{\pi(a - b - c)^2}{8}\); 4) \(S = cd + \frac{1}{2}(c - a - b)n + \frac{1}{2}\pi(k - d)^2\).
