Страница 34 номер 2.2.42, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Выполнить умножение многочленов и результат упростить: 1) \((2x - y)(2x + 2y)(4x - y)\); 2) \((3a + 2b)(3a - 2b)(a + 3b)\); 3) \((2x^2 + x - 1)(2x^2 + x + 1)\); 4) \((x^2 - 2x - 2)(x^2 - 2x + 2)\).
1) \((2x - y)(2x + 2y) = 4x^2 + 4xy - 2xy - 2y^2 = 4x^2 + 2xy - 2y^2\), поэтому
\[\begin{aligned} &(2x - y)(2x + 2y)(4x - y) = (4x^2 + 2xy - 2y^2)(4x - y) = {} \\ &= 16x^3 - 4x^2y + 8x^2y - 2xy^2 - 8xy^2 + 2y^3 = {} \\ &= 16x^3 + 4x^2y - 10xy^2 + 2y^3; \end{aligned}\]
2) \((3a + 2b)(3a - 2b) = (3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2\), поэтому
\[\begin{aligned} &(3a + 2b)(3a - 2b)(a + 3b) = (9a^2 - 4b^2)(a + 3b) = {} \\ &= 9a^3 + 27a^2b - 4ab^2 - 12b^3; \end{aligned}\]
3) множители — разность и сумма выражений \(2x^2 + x\) и 1, поэтому
\[\begin{aligned} &(2x^2 + x - 1)(2x^2 + x + 1) = (2x^2 + x)^2 - 1^2 = {} \\ &= (2x^2)^2 + 2 \cdot 2x^2 \cdot x + x^2 - 1 = 4x^4 + 4x^3 + x^2 - 1; \end{aligned}\]
4) множители — разность и сумма выражений \(x^2 - 2x\) и 2, поэтому
\[\begin{aligned} &(x^2 - 2x - 2)(x^2 - 2x + 2) = (x^2 - 2x)^2 - 2^2 = {} \\ &= (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2x + (2x)^2 - 4 = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(16x^3 + 4x^2y - 10xy^2 + 2y^3\); 2) \(9a^3 + 27a^2b - 4ab^2 - 12b^3\); 3) \(4x^4 + 4x^3 + x^2 - 1\); 4) \(x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4\).
Выполнить умножение многочленов и результат упростить: 1) \((2x - y)(2x + 2y)(4x - y)\); 2) \((3a + 2b)(3a - 2b)(a + 3b)\); 3) \((2x^2 + x - 1)(2x^2 + x + 1)\); 4) \((x^2 - 2x - 2)(x^2 - 2x + 2)\).
1) \((2x - y)(2x + 2y) = 4x^2 + 4xy - 2xy - 2y^2 = 4x^2 + 2xy - 2y^2\), поэтому
\[\begin{aligned} &(2x - y)(2x + 2y)(4x - y) = (4x^2 + 2xy - 2y^2)(4x - y) = {} \\ &= 16x^3 - 4x^2y + 8x^2y - 2xy^2 - 8xy^2 + 2y^3 = {} \\ &= 16x^3 + 4x^2y - 10xy^2 + 2y^3; \end{aligned}\]
2) произведение разности двух выражений и их суммы равно разности их квадратов, поэтому \((3a + 2b)(3a - 2b) = (3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2\) и
\[\begin{aligned} &(3a + 2b)(3a - 2b)(a + 3b) = (9a^2 - 4b^2)(a + 3b) = {} \\ &= 9a^3 + 27a^2b - 4ab^2 - 12b^3; \end{aligned}\]
3) множители — разность и сумма выражений \(2x^2 + x\) и 1, поэтому
\[\begin{aligned} &(2x^2 + x - 1)(2x^2 + x + 1) = (2x^2 + x)^2 - 1^2 = {} \\ &= (2x^2)^2 + 2 \cdot 2x^2 \cdot x + x^2 - 1 = 4x^4 + 4x^3 + x^2 - 1; \end{aligned}\]
4) множители — разность и сумма выражений \(x^2 - 2x\) и 2, поэтому
\[\begin{aligned} &(x^2 - 2x - 2)(x^2 - 2x + 2) = (x^2 - 2x)^2 - 2^2 = {} \\ &= (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2x + (2x)^2 - 4 = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(16x^3 + 4x^2y - 10xy^2 + 2y^3\); 2) \(9a^3 + 27a^2b - 4ab^2 - 12b^3\); 3) \(4x^4 + 4x^3 + x^2 - 1\); 4) \(x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4\).
