Страница 33 номер 2.2.36, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Разложить на множители квадратный трёхчлен: 1) \(2x^2 + 9x - 5\); 2) \(3x^2 - 11x - 4\); 3) \(3x^2 - 7x - 6\); 4) \(2x^2 - 11x - 6\); 5) \(4x^2 + 7x + 3\); 6) \(5x^2 + 12x + 4\); 7) \(7x^2 - 9x + 2\); 8) \(6x^2 - 23x + 15\).
1) \(D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), корни \(x_1 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 2} = -5\), поэтому
\[2x^2 + 9x - 5 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 5) = (2x - 1)(x + 5);\]
2) \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169\), \(\sqrt{D} = 13\), корни \(x_1 = \frac{11 - 13}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}\) и \(x_2 = \frac{11 + 13}{2 \cdot 3} = 4\), поэтому
\[3x^2 - 11x - 4 = 3\left(x + \frac{1}{3}\right)(x - 4) = (3x + 1)(x - 4);\]
3) \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), корни \(x_1 = \frac{7 - 11}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{3}\) и \(x_2 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = 3\), поэтому
\[3x^2 - 7x - 6 = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)(x - 3) = (3x + 2)(x - 3);\]
4) \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169\), \(\sqrt{D} = 13\), корни \(x_1 = \frac{11 - 13}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{11 + 13}{2 \cdot 2} = 6\), поэтому
\[2x^2 - 11x - 6 = 2\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 6) = (2x + 1)(x - 6);\]
5) \(D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1\), \(\sqrt{D} = 1\), корни \(x_1 = \frac{-7 + 1}{2 \cdot 4} = -\frac{3}{4}\) и \(x_2 = \frac{-7 - 1}{2 \cdot 4} = -1\), поэтому
\[4x^2 + 7x + 3 = 4\left(x + \frac{3}{4}\right)(x + 1) = (4x + 3)(x + 1);\]
6) \(D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64\), \(\sqrt{D} = 8\), корни \(x_1 = \frac{-12 + 8}{2 \cdot 5} = -\frac{2}{5}\) и \(x_2 = \frac{-12 - 8}{2 \cdot 5} = -2\), поэтому
\[5x^2 + 12x + 4 = 5\left(x + \frac{2}{5}\right)(x + 2) = (5x + 2)(x + 2);\]
7) \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), корни \(x_1 = \frac{9 - 5}{2 \cdot 7} = \frac{2}{7}\) и \(x_2 = \frac{9 + 5}{2 \cdot 7} = 1\), поэтому
\[7x^2 - 9x + 2 = 7\left(x - \frac{2}{7}\right)(x - 1) = (7x - 2)(x - 1);\]
8) \(D = (-23)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 15 = 529 - 360 = 169\), \(\sqrt{D} = 13\), корни \(x_1 = \frac{23 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{5}{6}\) и \(x_2 = \frac{23 + 13}{2 \cdot 6} = 3\), поэтому
\[6x^2 - 23x + 15 = 6\left(x - \frac{5}{6}\right)(x - 3) = (6x - 5)(x - 3).\]
Ответ: 1) \((2x - 1)(x + 5)\); 2) \((3x + 1)(x - 4)\); 3) \((3x + 2)(x - 3)\); 4) \((2x + 1)(x - 6)\); 5) \((4x + 3)(x + 1)\); 6) \((5x + 2)(x + 2)\); 7) \((7x - 2)(x - 1)\); 8) \((6x - 5)(x - 3)\).
Разложить на множители квадратный трёхчлен: 1) \(2x^2 + 9x - 5\); 2) \(3x^2 - 11x - 4\); 3) \(3x^2 - 7x - 6\); 4) \(2x^2 - 11x - 6\); 5) \(4x^2 + 7x + 3\); 6) \(5x^2 + 12x + 4\); 7) \(7x^2 - 9x + 2\); 8) \(6x^2 - 23x + 15\).
Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни квадратного трёхчлена \(ax^2 + bx + c\), то \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\). Корни трёхчлена — это корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).
1) \(D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), корни трёхчлена \(x_1 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 2} = -5\), поэтому
\[2x^2 + 9x - 5 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 5) = (2x - 1)(x + 5);\]
2) \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169\), \(\sqrt{D} = 13\), корни трёхчлена \(x_1 = \frac{11 - 13}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}\) и \(x_2 = \frac{11 + 13}{2 \cdot 3} = 4\), поэтому
\[3x^2 - 11x - 4 = 3\left(x + \frac{1}{3}\right)(x - 4) = (3x + 1)(x - 4);\]
3) \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), корни трёхчлена \(x_1 = \frac{7 - 11}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{3}\) и \(x_2 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = 3\), поэтому
\[3x^2 - 7x - 6 = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)(x - 3) = (3x + 2)(x - 3);\]
4) \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169\), \(\sqrt{D} = 13\), корни трёхчлена \(x_1 = \frac{11 - 13}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{11 + 13}{2 \cdot 2} = 6\), поэтому
\[2x^2 - 11x - 6 = 2\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 6) = (2x + 1)(x - 6);\]
5) \(D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1\), \(\sqrt{D} = 1\), корни трёхчлена \(x_1 = \frac{-7 + 1}{2 \cdot 4} = -\frac{3}{4}\) и \(x_2 = \frac{-7 - 1}{2 \cdot 4} = -1\), поэтому
\[4x^2 + 7x + 3 = 4\left(x + \frac{3}{4}\right)(x + 1) = (4x + 3)(x + 1);\]
6) \(D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64\), \(\sqrt{D} = 8\), корни трёхчлена \(x_1 = \frac{-12 + 8}{2 \cdot 5} = -\frac{2}{5}\) и \(x_2 = \frac{-12 - 8}{2 \cdot 5} = -2\), поэтому
\[5x^2 + 12x + 4 = 5\left(x + \frac{2}{5}\right)(x + 2) = (5x + 2)(x + 2);\]
7) \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), корни трёхчлена \(x_1 = \frac{9 - 5}{2 \cdot 7} = \frac{2}{7}\) и \(x_2 = \frac{9 + 5}{2 \cdot 7} = 1\), поэтому
\[7x^2 - 9x + 2 = 7\left(x - \frac{2}{7}\right)(x - 1) = (7x - 2)(x - 1);\]
8) \(D = (-23)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 15 = 529 - 360 = 169\), \(\sqrt{D} = 13\), корни трёхчлена \(x_1 = \frac{23 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{5}{6}\) и \(x_2 = \frac{23 + 13}{2 \cdot 6} = 3\), поэтому
\[6x^2 - 23x + 15 = 6\left(x - \frac{5}{6}\right)(x - 3) = (6x - 5)(x - 3).\]
Ответ: 1) \((2x - 1)(x + 5)\); 2) \((3x + 1)(x - 4)\); 3) \((3x + 2)(x - 3)\); 4) \((2x + 1)(x - 6)\); 5) \((4x + 3)(x + 1)\); 6) \((5x + 2)(x + 2)\); 7) \((7x - 2)(x - 1)\); 8) \((6x - 5)(x - 3)\).
