Страница 33 номер 2.2.34, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Разложить на множители: 1) \(p^3 - q^3\); 2) \(k^3 + l^3\); 3) \(m^3 + 1\); 4) \(n^3 - 1\); 5) \(27 - b^3\); 6) \(8 + a^3\); 7) \(y^3 + \frac{1}{64}\); 8) \(x^3 - \frac{1}{125}\); 9) \(a^3 - b^6\); 10) \(x^6 + y^3\); 11) \(0{,}001 + x^9\); 12) \(0{,}008 - y^{12}\).
1) \(p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)\);
2) \(k^3 + l^3 = (k + l)(k^2 - kl + l^2)\);
3) \(m^3 + 1 = m^3 + 1^3 = (m + 1)(m^2 - m + 1)\);
4) \(n^3 - 1 = n^3 - 1^3 = (n - 1)(n^2 + n + 1)\);
5) \(27 - b^3 = 3^3 - b^3 = (3 - b)(9 + 3b + b^2)\);
6) \(8 + a^3 = 2^3 + a^3 = (2 + a)(4 - 2a + a^2)\);
7) \(y^3 + \frac{1}{64} = y^3 + \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \left(y + \frac{1}{4}\right)\left(y^2 - \frac{1}{4}y + \frac{1}{16}\right)\);
8) \(x^3 - \frac{1}{125} = x^3 - \left(\frac{1}{5}\right)^3 = \left(x - \frac{1}{5}\right)\left(x^2 + \frac{1}{5}x + \frac{1}{25}\right)\);
9) \(a^3 - b^6 = a^3 - (b^2)^3 = (a - b^2)(a^2 + ab^2 + b^4)\);
10) \(x^6 + y^3 = (x^2)^3 + y^3 = (x^2 + y)(x^4 - x^2y + y^2)\);
11) \(0{,}001 + x^9 = (0{,}1)^3 + (x^3)^3 = (0{,}1 + x^3)(0{,}01 - 0{,}1x^3 + x^6)\);
12) \(0{,}008 - y^{12} = (0{,}2)^3 - (y^4)^3 = (0{,}2 - y^4)(0{,}04 + 0{,}2y^4 + y^8)\).
Ответ: 1) \((p - q)(p^2 + pq + q^2)\); 2) \((k + l)(k^2 - kl + l^2)\); 3) \((m + 1)(m^2 - m + 1)\); 4) \((n - 1)(n^2 + n + 1)\); 5) \((3 - b)(9 + 3b + b^2)\); 6) \((2 + a)(4 - 2a + a^2)\); 7) \(\left(y + \frac{1}{4}\right)\left(y^2 - \frac{1}{4}y + \frac{1}{16}\right)\); 8) \(\left(x - \frac{1}{5}\right)\left(x^2 + \frac{1}{5}x + \frac{1}{25}\right)\); 9) \((a - b^2)(a^2 + ab^2 + b^4)\); 10) \((x^2 + y)(x^4 - x^2y + y^2)\); 11) \((0{,}1 + x^3)(0{,}01 - 0{,}1x^3 + x^6)\); 12) \((0{,}2 - y^4)(0{,}04 + 0{,}2y^4 + y^8)\).
Разложить на множители: 1) \(p^3 - q^3\); 2) \(k^3 + l^3\); 3) \(m^3 + 1\); 4) \(n^3 - 1\); 5) \(27 - b^3\); 6) \(8 + a^3\); 7) \(y^3 + \frac{1}{64}\); 8) \(x^3 - \frac{1}{125}\); 9) \(a^3 - b^6\); 10) \(x^6 + y^3\); 11) \(0{,}001 + x^9\); 12) \(0{,}008 - y^{12}\).
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности, а разность кубов — произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:
\[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2), \qquad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).\]
В каждом двучлене выделим кубы двух выражений и применим нужную формулу.
1) \(p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)\);
2) \(k^3 + l^3 = (k + l)(k^2 - kl + l^2)\);
3) \(m^3 + 1 = m^3 + 1^3 = (m + 1)(m^2 - m + 1)\);
4) \(n^3 - 1 = n^3 - 1^3 = (n - 1)(n^2 + n + 1)\);
5) \(27 - b^3 = 3^3 - b^3 = (3 - b)(9 + 3b + b^2)\);
6) \(8 + a^3 = 2^3 + a^3 = (2 + a)(4 - 2a + a^2)\);
7) \(y^3 + \frac{1}{64} = y^3 + \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \left(y + \frac{1}{4}\right)\left(y^2 - \frac{1}{4}y + \frac{1}{16}\right)\);
8) \(x^3 - \frac{1}{125} = x^3 - \left(\frac{1}{5}\right)^3 = \left(x - \frac{1}{5}\right)\left(x^2 + \frac{1}{5}x + \frac{1}{25}\right)\);
9) \(a^3 - b^6 = a^3 - (b^2)^3 = (a - b^2)(a^2 + ab^2 + b^4)\);
10) \(x^6 + y^3 = (x^2)^3 + y^3 = (x^2 + y)(x^4 - x^2y + y^2)\);
11) \(0{,}001 + x^9 = (0{,}1)^3 + (x^3)^3 = (0{,}1 + x^3)(0{,}01 - 0{,}1x^3 + x^6)\);
12) \(0{,}008 - y^{12} = (0{,}2)^3 - (y^4)^3 = (0{,}2 - y^4)(0{,}04 + 0{,}2y^4 + y^8)\).
Ответ: 1) \((p - q)(p^2 + pq + q^2)\); 2) \((k + l)(k^2 - kl + l^2)\); 3) \((m + 1)(m^2 - m + 1)\); 4) \((n - 1)(n^2 + n + 1)\); 5) \((3 - b)(9 + 3b + b^2)\); 6) \((2 + a)(4 - 2a + a^2)\); 7) \(\left(y + \frac{1}{4}\right)\left(y^2 - \frac{1}{4}y + \frac{1}{16}\right)\); 8) \(\left(x - \frac{1}{5}\right)\left(x^2 + \frac{1}{5}x + \frac{1}{25}\right)\); 9) \((a - b^2)(a^2 + ab^2 + b^4)\); 10) \((x^2 + y)(x^4 - x^2y + y^2)\); 11) \((0{,}1 + x^3)(0{,}01 - 0{,}1x^3 + x^6)\); 12) \((0{,}2 - y^4)(0{,}04 + 0{,}2y^4 + y^8)\).
